फलन f(x) = begin{cases} frac{P(x)}{sin(x-2)}, | vedclass

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Question

(C) चूंकि $P''(x)$ एक स्थिरांक है,इसलिए $P(x)$ को $2$ घात का बहुपद होना चाहिए। मान लीजिए $P(x) = ax^2 + bx + c$ है।यह दिया गया है कि $f(x)$,$x = 2$ पर

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$39$

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(C) चूंकि $P''(x)$ एक स्थिरांक है,इसलिए $P(x)$ को $2$ घात का बहुपद होना चाहिए। मान लीजिए $P(x) = ax^2 + bx + c$ है।यह दिया गया है कि $f(x)$,$x = 2$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x 	o 2} f(x) = f(2) = 7$ है।इसका अर्थ है कि $\lim_{x 	o 2} \frac{P(x)}{\sin(x-2)} = 7$ है।सीमा के अस्तित्व के लिए,$P(2) = 0$ होना चाहिए क्योंकि $x 	o 2$ होने पर $\sin(x-2) 	o 0$ होता है। अतः,$(x-2)$,$P(x)$ का एक गुणनखंड है।मान लीजिए $P(x) = (x-2)(ax + k)$ है।तब $\lim_{x 	o 2} \frac{(x-2)(ax+k)}{\sin(x-2)} = \lim_{x 	o 2} \frac{x-2}{\sin(x-2)} \cdot (ax+k) = 1 \cdot (2a+k) = 7$ है।अतः,$2a + k = 7$ है।हमें $P(3) = 9$ दिया गया है। $P(x) = (x-2)(ax+k)$ में $x=3$ रखने पर,$(3-2)(3a+k) = 9$,इसलिए $3a + k = 9$ है।दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(3a+k) - (2a+k) = 9 - 7$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।$2a+k=7$ में $a=2$ रखने पर $4+k=7$ मिलता है,इसलिए $k=3$ है।इस प्रकार,$P(x) = (x-2)(2x+3)$ है।अंत में,$P(5) = (5-2)(2(5)+3) = 3(13) = 39$ है।

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