समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें
$\begin{cases} x+y+z = 0 \\ \alpha x+\beta y+\gamma z = 0 \\ \alpha^{2} x+\beta^{2} y+\gamma^{2} z = 0 \end{cases}$
तो समीकरणों की इस प्रणाली के पास है

यदि $x=\alpha, y=\beta, z=\gamma$ रैखिक समीकरण निकाय $2x-3y+5z=12$, $5x+2y+3z=11$ और $x+2y-3z=-3$ का अद्वितीय हल है, तो $2\alpha+5\beta+3\gamma=$

निम्नलिखित कथनों के लिए $T$ या $F$ के प्रारंभिक अक्षरों का सही क्रम दें। यदि कथन सत्य है तो $T$ और यदि असत्य है तो $F$ का उपयोग करें।
कथन $-1$ : यदि दो चरों वाले दो रैखिक समीकरणों के आलेख न तो समानांतर हैं और न ही समान हैं,तो निकाय का एक अद्वितीय हल होता है।
कथन $-2$ : यदि समीकरण निकाय $ax + by = 0, cx + dy = 0$ का एक शून्येतर हल है,तो इसके अनंत हल होते हैं।
कथन $-3$ : निकाय $x + y + z = 1, x = y, y = 1 + z$ असंगत है।
कथन $-4$ : यदि तीन रैखिक समीकरणों के निकाय में दो समीकरण असंगत हैं,तो पूरा निकाय असंगत होता है।

मान लीजिए कि $(x, y, z)$ पूर्णांक निर्देशांक वाले बिंदु हैं जो समघात समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करते हैं:
$3x - y - z = 0$,$-3x + z = 0$,$-3x + 2y + z = 0$.
तो ऐसे बिंदुओं की संख्या क्या है जिनके लिए $x^2 + y^2 + z^2 \leq 100$ है?

यदि रैखिक समीकरणों के निकाय : $x+y+2z=6$,$2x+3y+az=a+1$,$-x-3y+bz=2b$ जहाँ $a, b \in R$,के अनंत हल हैं,तो $7a+3b$ का मान ज्ञात कीजिए :

यदि $x = \alpha, y = \beta, z = \gamma$ समीकरणों के निकाय $5x - 2y + 3z = 0$, $7x + 10y - 8z = 3$ और $2x + 3y - 4z = -4$ का अद्वितीय हल है, तो $\beta =$