સમીકરણોની સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો
$\begin{cases} x+y+z = 0 \\ \alpha x+\beta y+\gamma z = 0 \\ \alpha^{2} x+\beta^{2} y+\gamma^{2} z = 0 \end{cases}$
તો સમીકરણોની આ સિસ્ટમ પાસે છે

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો: $x-y+2z=7$,$3x+4y-5z=-5$,$2x-y+3z=12$.

સમીકરણોની સિસ્ટમ $2x + 5y = 1$ અને $3x + 2y = 7$ ઉકેલો.

ધારો કે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ
$x+2y+3z=\alpha$
$4x+5y+6z=\beta$
$7x+8y+9z=\gamma$
સુસંગત છે. ધારો કે $|M|$ એ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક દર્શાવે છે
$M=\begin{bmatrix} \alpha & 2 & \gamma \\ \beta & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
ધારો કે $P$ એ એવું સમતલ છે જેમાં $(\alpha, \beta, \gamma)$ ના તમામ બિંદુઓ છે જેના માટે ઉપરની સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ સુસંગત છે,અને $D$ એ બિંદુ $(0,1,0)$ થી સમતલ $P$ ના અંતરનો વર્ગ છે.
$(1)$ $|M|$ નું મૂલ્ય છે
$(2)$ $D$ નું મૂલ્ય છે

જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x+\lambda y-2 z=1$, $x-y+\lambda z=2$ અને $x-2 y+3 z=3$, $\lambda=\lambda_1$ અને $\lambda_2$ માટે અસંગત હોય, તો $\lambda_1+\lambda_2=$

સમીકરણોની સિસ્ટમ $4x + y + 2z = 5$, $x - 5y + 3z = 10$, અને $9x - 3y + 7z = 20$ ધરાવે છે