સમીકરણોની સિસ્ટમ $2x + 5y = 1$ અને $3x + 2y = 7$ ઉકેલો.

$a$ ની કેટલી અલગ અલગ કિંમતો માટે નીચેની સુરેખ સમીકરણ સંહતિને ઓછામાં ઓછા બે ભિન્ન ઉકેલો મળે?
$ax + y = 0$
$x + (a + 10)y = 0$

વિધાન $-1$: સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ
$x + (\sin \alpha)y + (\cos \alpha)z = 0$
$x + (\cos \alpha)y + (\sin \alpha)z = 0$
$x - (\sin \alpha)y - (\cos \alpha)z = 0$
ને અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{2})$ માં $\alpha$ ની માત્ર એક કિંમત માટે શૂન્યેતર ઉકેલ છે.
વિધાન $-2$: $\alpha$ માં સમીકરણ
$\left| \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha & \cos \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right| = 0$
ને અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{2})$ માં માત્ર એક ઉકેલ છે.

જો સમીકરણોની સંહતિ $2x + 9y + 5z = 8$, $2x + 3y - z = -4$, $x - 2z = -5$ ને અનંત ઉકેલો $x = -5 + at$, $y = 2 + bt$, $z = ct$, $t \in R$ હોય, તો $a$, $b$, $c$ અનુક્રમે શું થાય?

જો $X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ એ સમીકરણ સંહતિ $AX = B$ નો ઉકેલ હોય, જ્યાં $\text{adj } A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$ હોય, તો $|x + y + z|$ ની કિંમત શોધો:

એક ઉત્પાદક ત્રણ ઉત્પાદનો $x, y, z$ બનાવે છે જે તે બે બજારોમાં વેચે છે. વાર્ષિક વેચાણ નીચે મુજબ છે:

બજાર	$x, y, z$
$I$	$10,000, 2,000, 18,000$
$II$	$6,000, 20,000, 8,000$

જો $x, y$ અને $z$ ની એકમ વેચાણ કિંમત અનુક્રમે રૂ. $2.50$,રૂ. $1.50$ અને રૂ. $1.00$ હોય,તો શ્રેણિક બીજગણિતની મદદથી દરેક બજારમાં કુલ આવક શોધો.