x, y, z में रैखिक समीकरणों के निकाय पर विचार | vedclass

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Question

(B) समघात रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए, गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & t \ 6 & 1 & 5t \

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$R$ पर निरंतर वर्धमान फलन है

Vedclass · Answer

(B) समघात रैखिक समीकरणों के निकाय के अनंत हल होने के लिए, गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & t \ 6 & 1 & 5t \ 3 & t^2 & 1 \end{vmatrix} = 0$.पहली पंक्ति के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करने पर:$1(1 - 5t^3) - 2(6 - 15t) + t(6t^2 - 3) = 0$$1 - 5t^3 - 12 + 30t + 6t^3 - 3t = 0$$t^3 + 27t - 11 = 0$.चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि निकाय के सभी $t \in R$ के लिए अनंत हल हैं, इसका अर्थ है कि सारणिक को सभी $t$ के लिए शून्य होना चाहिए। हालाँकि, $t^3 + 27t - 11$ एक बहुपद है जो सभी $t$ के लिए शून्य नहीं है। यदि हम इस व्यंजक को एक फलन $f(t) = t^3 + 27t - 11$ के रूप में मानें, तो इसका अवकलज $f'(t) = 3t^2 + 27$ हमेशा धनात्मक रहता है। अतः, $f(t)$ निरंतर वर्धमान फलन है।

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