दो सीधी रेखाओं पर विचार करें,जिनमें से प्रत्य | vedclass

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Question

(C) परवलय $y^2 = 4x$ के स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ है।वृत्त $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$ के स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{\frac

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$A, C$

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(C) परवलय $y^2 = 4x$ के स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ है।वृत्त $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$ के स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{\frac{1}{2}(1 + m^2)}$ है।दोनों की तुलना करने पर,हमें $\frac{1}{m^2} = \frac{1 + m^2}{2} \Rightarrow 2 = m^2 + m^4 \Rightarrow m^4 + m^2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है।$(m^2 + 2)(m^2 - 1) = 0$,इसलिए $m^2 = 1$,जो $m = \pm 1$ देता है।स्पर्शरेखाएं $y = x + 1$ और $y = -x - 1$ हैं। उनका प्रतिच्छेदन बिंदु $Q$ $(-1, 0)$ है।दूरी $OQ = 1$,जो अर्ध-दीर्घ अक्ष $a = 1$ है।लघु अक्ष की लंबाई $2b = \sqrt{2}$ है,इसलिए $b = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $b^2 = \frac{1}{2}$।दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{1/2} = 1$ है।उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1/2}{1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1/2)}{1} = 1$। अतः,$(A)$ सत्य है।क्षेत्रफल $= 2 \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \sqrt{\frac{1}{2}(1 - x^2)} dx = \sqrt{2} \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx$.$= \sqrt{2} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1 - x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) \right]_{1/\sqrt{2}}^{1} = \sqrt{2} \left( (0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) - (\frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}) \right)$.$= \sqrt{2} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4} - \frac{\pi}{8} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{8}(\pi - 2) = \frac{1}{4\sqrt{2}}(\pi - 2)$। अतः,$(C)$ सत्य है।

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यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2 + 1} + \frac{y^2}{a^2 + 2} = 1$ की उत्केंद्रता $\frac{1}{\sqrt{6}}$ है,तो दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

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