$e = \frac{1}{2}$ उत्केंद्रता वाले एक दीर्घवृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर है। यदि इसकी एक नियता $x = 4$ है,तो दीर्घवृत्त का समीकरण क्या है?

मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ दो दीर्घवृत्त हैं जिनके केंद्र मूल बिंदु पर हैं। $E_1$ और $E_2$ के मुख्य अक्ष क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर स्थित हैं। मान लीजिए $S$ वृत्त $x^2+(y-1)^2=2$ है। सरल रेखा $x+y=3$ वक्रों $S, E_1$ और $E_2$ को क्रमशः $P, Q$ और $R$ पर स्पर्श करती है। मान लीजिए $PQ=PR=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ है। यदि $e_1$ और $e_2$ क्रमशः $E_1$ और $E_2$ की उत्केंद्रताएँ हैं,तो सही व्यंजक है/हैं:
$(A) e_1^2+e_2^2=\frac{43}{40}$
$(B) e_1 e_2=\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{10}}$
$(C) |e_1^2-e_2^2|=\frac{5}{8}$
$(D) e_1 e_2=\frac{\sqrt{3}}{4}$

दो दीर्घवृत्तों $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ और $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1$ की नाभियों को मिलाने से बनने वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

यदि रेखा $y = mx + c$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ को स्पर्श करती है,तो $c = $

मान लीजिए $S \equiv \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0$ और $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}-1=0$ दो प्रतिच्छेदी दीर्घवृत्त हैं। यदि $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ और $Q\left(a \cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right), b \sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right)$ उनके प्रतिच्छेदन बिंदु हैं,तो $\frac{1}{2}\left(a^2 \beta^2+b^2 \alpha^2\right)=$

यदि $P \equiv (x, y)$,$F_1 \equiv (3, 0)$,$F_2 \equiv (-3, 0)$ और $16x^2 + 25y^2 = 400$ है,तो $PF_1 + PF_2$ का मान ज्ञात कीजिए।