मान लीजिए $S \equiv \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0$ और $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}-1=0$ दो प्रतिच्छेदी दीर्घवृत्त हैं। यदि $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ और $Q\left(a \cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right), b \sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right)$ उनके प्रतिच्छेदन बिंदु हैं,तो $\frac{1}{2}\left(a^2 \beta^2+b^2 \alpha^2\right)=$

एक दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई $6$ इकाई है और एक नाभि तथा उसके मुख्य अक्ष पर स्थित निकटतम शीर्ष के बीच की दूरी $\frac{5}{3}$ इकाई है। यदि $e$ इस दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता है,तो $e$ किस समीकरण को संतुष्ट करता है?

मान लीजिए $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ पर दो अलग-अलग बिंदु हैं,इस प्रकार कि $y_1 > 0$ और $y_2 > 0$ है। मान लीजिए $C$ वृत्त $x^2+y^2=9$ को दर्शाता है,और $M$ बिंदु $(3,0)$ है। मान लीजिए रेखा $x=x_1$,$C$ को $R$ पर काटती है,और रेखा $x=x_2$,$C$ को $S$ पर काटती है,इस प्रकार कि $R$ और $S$ के $y$-निर्देशांक धनात्मक हैं। मान लीजिए $\angle ROM = \frac{\pi}{6}$ और $\angle SOM = \frac{\pi}{3}$,जहाँ $O$ मूल बिंदु $(0,0)$ को दर्शाता है। मान लीजिए $|XY|$ रेखाखंड $XY$ की लंबाई को दर्शाता है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है (हैं)?
$(A)$ $P$ और $Q$ को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण $2x+3y=3(1+\sqrt{3})$ है
$(B)$ $P$ और $Q$ को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण $2x+y=3(1+\sqrt{3})$ है
$(C)$ यदि $N_2=(x_2, 0)$ है,तो $3|N_2Q|=2|N_2S|$
$(D)$ यदि $N_1=(x_1, 0)$ है,तो $9|N_1P|=4|N_1R|$

$P$ दीर्घवृत्त $9x^2 + 36y^2 = 324$ पर कोई बिंदु है,जिसके नाभियाँ $S$ और $S'$ हैं। तो $SP + S'P$ का मान क्या होगा?

दीर्घवृत्त का मानक रूप में समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभिलंब की लंबाई $4$ है और जिसकी नाभियों के बीच की दूरी $4 \sqrt{2}$ है।

वक्र $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के बिंदु $P\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब द्वारा $x$-अक्ष के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।