मान लीजिए P(x_1, y_1) और Q(x_2, y_2) दीर्घवृत | vedclass

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Question

(A, C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ है। दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु को $(3 \cos 	heta, 2 \sin 	heta)$ के रूप में दर्शाया जा सक

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$A, D$

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(A, C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ है। दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु को $(3 \cos 	heta, 2 \sin 	heta)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।दिया गया है कि $\angle ROM = \frac{\pi}{6}$ और $\angle SOM = \frac{\pi}{3}$,जहाँ $M=(3,0)$ और $O=(0,0)$,बिंदु $R$ और $S$ वृत्त $x^2+y^2=9$ पर स्थित हैं। अतः,$R = (3 \cos \frac{\pi}{6}, 3 \sin \frac{\pi}{6}) = (\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$ और $S = (3 \cos \frac{\pi}{3}, 3 \sin \frac{\pi}{3}) = (\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$।चूँकि $x_1$,$R$ का $x$-निर्देशांक है,$x_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$। चूँकि $P$ दीर्घवृत्त पर है,$P = (x_1, y_1) = (\frac{3\sqrt{3}}{2}, 2 \sin 	heta_1)$। चूँकि $\frac{x_1^2}{9} + \frac{y_1^2}{4} = 1$,हमारे पास $\frac{27/4}{9} + \frac{y_1^2}{4} = 1 \Rightarrow \frac{3}{4} + \frac{y_1^2}{4} = 1 \Rightarrow y_1^2 = 1 \Rightarrow y_1 = 1$ है (चूँकि $y_1 > 0$)। अतः $P = (\frac{3\sqrt{3}}{2}, 1)$।इसी प्रकार,$x_2 = \frac{3}{2}$। $Q = (x_2, y_2)$ के लिए,$\frac{9/4}{9} + \frac{y_2^2}{4} = 1 \Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{y_2^2}{4} = 1 \Rightarrow y_2^2 = 3 \Rightarrow y_2 = \sqrt{3}$। अतः $Q = (\frac{3}{2}, \sqrt{3})$।$P$ और $Q$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{\sqrt{3}-1}{3/2 - 3\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}-1}{-\frac{3}{2}(\sqrt{3}-1)} = -\frac{2}{3}$ है।समीकरण $y - \sqrt{3} = -\frac{2}{3}(x - \frac{3}{2}) \Rightarrow 3y - 3\sqrt{3} = -2x + 3 \Rightarrow 2x + 3y = 3(1+\sqrt{3})$ है। अतः,$(A)$ सत्य है।$(C)$ के लिए,$N_2 = (x_2, 0) = (\frac{3}{2}, 0)$। $|N_2Q| = y_2 = \sqrt{3}$ और $|N_2S| = \frac{3\sqrt{3}}{2}$। $3|N_2Q| = 3\sqrt{3}$ और $2|N_2S| = 2(\frac{3\sqrt{3}}{2}) = 3\sqrt{3}$। अतः $3|N_2Q| = 2|N_2S|$,$(C)$ सत्य है।

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