ધારો કે P(x_1, y_1) અને Q(x_2, y_2) એ ઉપવલય f | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A, C) ઉપવલય $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ છે. ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુને $(3 \cos 	heta, 2 \sin 	heta)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.આપેલ છે કે $\

Vedclass · Accepted Answer

$A, D$

Vedclass · Answer

(A, C) ઉપવલય $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ છે. ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુને $(3 \cos 	heta, 2 \sin 	heta)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.આપેલ છે કે $\angle ROM = \frac{\pi}{6}$ અને $\angle SOM = \frac{\pi}{3}$,જ્યાં $M=(3,0)$ અને $O=(0,0)$,બિંદુઓ $R$ અને $S$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=9$ પર આવેલા છે. તેથી,$R = (3 \cos \frac{\pi}{6}, 3 \sin \frac{\pi}{6}) = (\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$ અને $S = (3 \cos \frac{\pi}{3}, 3 \sin \frac{\pi}{3}) = (\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$.કારણ કે $x_1$ એ $R$ નો $x$-યામ છે,$x_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. $P$ એ ઉપવલય પર હોવાથી,$P = (x_1, y_1) = (\frac{3\sqrt{3}}{2}, 2 \sin 	heta_1)$. $\frac{x_1^2}{9} + \frac{y_1^2}{4} = 1$ હોવાથી,આપણને $\frac{27/4}{9} + \frac{y_1^2}{4} = 1 \Rightarrow \frac{3}{4} + \frac{y_1^2}{4} = 1 \Rightarrow y_1^2 = 1 \Rightarrow y_1 = 1$ મળે છે (કારણ કે $y_1 > 0$). તેથી $P = (\frac{3\sqrt{3}}{2}, 1)$.તે જ રીતે,$x_2 = \frac{3}{2}$. $Q = (x_2, y_2)$ માટે,$\frac{9/4}{9} + \frac{y_2^2}{4} = 1 \Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{y_2^2}{4} = 1 \Rightarrow y_2^2 = 3 \Rightarrow y_2 = \sqrt{3}$. તેથી $Q = (\frac{3}{2}, \sqrt{3})$.$P$ અને $Q$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{\sqrt{3}-1}{3/2 - 3\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}-1}{-\frac{3}{2}(\sqrt{3}-1)} = -\frac{2}{3}$ છે.સમીકરણ $y - \sqrt{3} = -\frac{2}{3}(x - \frac{3}{2}) \Rightarrow 3y - 3\sqrt{3} = -2x + 3 \Rightarrow 2x + 3y = 3(1+\sqrt{3})$ છે. આમ,$(A)$ સાચું છે.$(C)$ માટે,$N_2 = (x_2, 0) = (\frac{3}{2}, 0)$. $|N_2Q| = y_2 = \sqrt{3}$ અને $|N_2S| = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. $3|N_2Q| = 3\sqrt{3}$ અને $2|N_2S| = 2(\frac{3\sqrt{3}}{2}) = 3\sqrt{3}$. તેથી $3|N_2Q| = 2|N_2S|$,$(C)$ સાચું છે.

Similar Questions

જો $x^{2}+9 y^{2}-4 x+3=0$,જ્યાં $x, y \in R$,તો $x$ અને $y$ અનુક્રમે કયા અંતરાલમાં આવેલા છે?

જો ઉપવલય (ellipse) નું નાભિલંબ (latus rectum) તેની ગૌણ અક્ષ (minor axis) ના અડધા જેટલું હોય,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module