જો $x^{2}+9 y^{2}-4 x+3=0$,જ્યાં $x, y \in R$,તો $x$ અને $y$ અનુક્રમે કયા અંતરાલમાં આવેલા છે?

ધારો કે $P$ એ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ઉપવલય પરનું એક ચલિત બિંદુ છે,જેના નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ છે. જો $\triangle PF_1F_2$ નું ક્ષેત્રફળ $A$ હોય,તો $A$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો:

ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ને સ્પર્શતી એક ચલ સ્પર્શક બંને અક્ષો પર અંતઃખંડ બનાવે છે. યામ અક્ષો વચ્ચેના સ્પર્શકના ભાગના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ શોધો.

ગ્રહ $M$ તેના સૂર્ય $S$ ની આસપાસ લંબગોળ કક્ષામાં ફરે છે,જેમાં સૂર્ય એક નાભિ પર છે. જ્યારે $M$ એ $S$ ની સૌથી નજીક હોય છે,ત્યારે તે $2$ એકમ દૂર હોય છે. જ્યારે $M$ એ $S$ થી સૌથી દૂર હોય છે,ત્યારે તે $18$ એકમ દૂર હોય છે. જો $S$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર હોય અને બીજી નાભિ ઋણ $y$-અક્ષ પર હોય,તો ગ્રહ $M$ ની લંબગોળ કક્ષાનું સમીકરણ શોધો.

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે,ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ પરના ચાર બિંદુઓ $(\pm 3 \cos \theta, \pm 2 \sin \theta)$ આગળ ચાર સ્પર્શકો દોરવામાં આવ્યા છે. જો $A(\theta)$ એ આ ચાર સ્પર્શકો દ્વારા બનતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવતું હોય,તો $A(\theta)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય કેટલું થાય?

જે ઉપવલયનું એક શિરોબિંદુ $(0, 7)$ હોય અને નિયામિકા $y = 12$ હોય,તે ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.