નીચેના વિધેયોની સાતત્યતા ચર્ચો:
a) $f(x) = \sin x + \cos x$
b) $f(x) = \sin x - \cos x$
c) $f(x) = \sin x \times \cos x$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $g$ અને $h$ બે સતત વિધેયો હોય,તો $g+h$,$g-h$ અને $g \cdot h$ પણ સતત હોય છે.
પ્રથમ,આપણે સાબિત કરીશું કે $g(x) = \sin x$ અને $h(x) = \cos x$ સતત વિધેયો છે.
$g(x) = \sin x$ માટે:
$g(x)$ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે વ્યાખ્યાયિત છે. ધારો કે $c$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે. $x = c + h$ લો. જ્યારે $x \to c$,ત્યારે $h \to 0$.
$g(c) = \sin c$.
$\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{h \to 0} \sin(c + h) = \lim_{h \to 0} (\sin c \cos h + \cos c \sin h) = \sin c(1) + \cos c(0) = \sin c$.
કારણ કે $\lim_{x \to c} g(x) = g(c)$,તેથી $g(x)$ સતત છે.
$h(x) = \cos x$ માટે:
$h(x)$ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે વ્યાખ્યાયિત છે. ધારો કે $c$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે. $x = c + h$ લો. જ્યારે $x \to c$,ત્યારે $h \to 0$.
$h(c) = \cos c$.
$\lim_{x \to c} h(x) = \lim_{h \to 0} \cos(c + h) = \lim_{h \to 0} (\cos c \cos h - \sin c \sin h) = \cos c(1) - \sin c(0) = \cos c$.
કારણ કે $\lim_{x \to c} h(x) = h(c)$,તેથી $h(x)$ સતત છે.
નિષ્કર્ષ:
a) $f(x) = g(x) + h(x) = \sin x + \cos x$ સતત વિધેય છે.
b) $f(x) = g(x) - h(x) = \sin x - \cos x$ સતત વિધેય છે.
c) $f(x) = g(x) \cdot h(x) = \sin x \cos x$ સતત વિધેય છે.