दो लंबकोणीय वृत्तों C_1 और C_2 में से प्रत्ये | vedclass

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Question

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+k=0$ है। चूंकि वृत्त $(2,0)$ और $(-2,0)$ से गुजरता है,हमारे पास $4+4g+k=0$ और $4-4g+k=0$ है। इन्हें हल करने

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$c^2=4(1+2m^2)$

Vedclass · Answer

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+k=0$ है। चूंकि वृत्त $(2,0)$ और $(-2,0)$ से गुजरता है,हमारे पास $4+4g+k=0$ और $4-4g+k=0$ है। इन्हें हल करने पर $g=0$ और $k=-4$ प्राप्त होता है। अतः,वृत्त $x^2+y^2+2fy-4=0$ के रूप के हैं। माना दो वृत्त $C_1: x^2+y^2+2f_1y-4=0$ और $C_2: x^2+y^2+2f_2y-4=0$ हैं। चूंकि वे लंबकोणीय हैं,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = k_1+k_2$। यहाँ $g_1=g_2=0$ है,इसलिए $2f_1f_2 = -4-4 = -8$,जिसका अर्थ है $f_1f_2 = -4$। रेखा $y=mx+c$,$x^2+y^2+2fy-4=0$ की स्पर्शरेखा है,इसलिए केंद्र $(0,-f)$ से रेखा $mx-y+c=0$ की दूरी त्रिज्या $\sqrt{f^2+4}$ के बराबर है। इस प्रकार,$|-f-c|/\sqrt{m^2+1} = \sqrt{f^2+4}$,जो सरल होकर $(f+c)^2 = (m^2+1)(f^2+4)$ बन जाता है। विस्तार करने पर $f^2+2cf+c^2 = m^2f^2+4m^2+f^2+4$,या $m^2f^2-2cf+4m^2+4-c^2=0$ प्राप्त होता है। चूंकि $f_1$ और $f_2$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं,उनका गुणनफल $f_1f_2 = (4m^2+4-c^2)/m^2$ है। इसे $-4$ के बराबर रखने पर,$(4m^2+4-c^2)/m^2 = -4$,इसलिए $4m^2+4-c^2 = -4m^2$,जो सरल होकर $c^2 = 8m^2+4 = 4(1+2m^2)$ प्राप्त होता है।

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