मान लीजिए $A$,$x$-अक्ष पर एक बिंदु है। $A$ से वक्रों $x^2+y^2=8$ और $y^2=16x$ पर उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। यदि इनमें से एक स्पर्श रेखा दोनों वक्रों को $Q$ और $R$ पर स्पर्श करती है,तो $(QR)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$A(x_1, y_1)$ दो वृत्तों $C_1$ और $C_2$ का आंतरिक समानता केंद्र है और $B(x_2, y_2)$ बाह्य समानता केंद्र है,जिनके केंद्र क्रमशः $P(\alpha, \beta)$ और $Q(\gamma, \delta)$ हैं। यदि $PA=3, AB=5, QB=2$ है,तो दोनों वृत्तों की त्रिज्याओं का अनुपात क्या है:

$2$ त्रिज्या वाला एक वृत्त $C$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है और दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है। मान लीजिए कि $r$ उस वृत्त की त्रिज्या है जिसका केंद्र $(2, 5)$ बिंदु पर है और जो वृत्त $C$ को ठीक दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। यदि $r$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय अंतराल $(\alpha, \beta)$ है,तो $3 \beta - 2 \alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

वृत्त $x^2+y^2=9$ और परवलय $y^2=8x$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है

$P$ और $Q$ वृत्त $x^2+y^2=a^2$ के व्यास के अंतिम बिंदु हैं,जहाँ $a > \frac{1}{\sqrt{2}}$ है। $s$ और $t$ क्रमशः $P$ और $Q$ से रेखा $x+y=1$ पर डाले गए लंब की लंबाइयाँ हैं। जब गुणनफल $st$ अधिकतम होता है,तो $s$ और $t$ में से बड़ा मान क्या है?

$a$ के मानों का वह परिसर ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिंदु $(a, 0)$ से वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ को संतुष्ट करता है: