સમીકરણ $3x^2 + 7xy + 2y^2 + 5x + 5y + 2 = 0$ શું દર્શાવે છે?

વર્તુળ $x^2 + y^2 = 10$ ની અંદરના એવા પૂર્ણાંક બિંદુઓ $(x, y)$ ની સંખ્યા શોધો કે જ્યાંથી વક્ર $\sqrt{(x + 5\sqrt{2})^2 + y^2} - \sqrt{(x - 5\sqrt{2})^2 + y^2} = 10$ પર માત્ર એક જ વાસ્તવિક સ્પર્શક દોરી શકાય (જ્યાં પૂર્ણાંક બિંદુ $(x, y)$ એટલે $x, y \in \mathbb{Z}$):

એક અતિવલય $H$ ના શિરોબિંદુઓ $(\pm 6, 0)$ છે અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{\sqrt{5}}{2}$ છે. ધારો કે $N$ એ પ્રથમ ચરણમાં આવેલા બિંદુએ $H$ નો અભિલંબ છે અને તે રેખા $\sqrt{2} x + y = 2 \sqrt{2}$ ને સમાંતર છે. જો $d$ એ $H$ અને $y$-અક્ષ વચ્ચેના $N$ ના રેખાખંડની લંબાઈ હોય,તો $d^2$ ની કિંમત $............$ છે.

અતિવલય $2x^2 - 3y^2 = 12$ ની જીવા $4x - 3y = 5$ નું મધ્યબિંદુ શોધો.

જો અતિવલય $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ પરના બિંદુ $(2 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ આગળનો સ્પર્શક $3x-y+4=0$ ને સમાંતર હોય,તો $\theta$ ની કિંમત શોધો. ($^{\circ}$ માં)

જો અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પર બે સ્પર્શકો એવી રીતે દોરવામાં આવે કે તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $c^2$ હોય,તો તેઓ કયા વક્ર પર છેદે છે?