સમતલ $P_1$ અને $P_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા અને રેખા $L$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ શોધો,જ્યાં:
$P_1 : 3x + 2y + 5z + 1 = 0$
$P_2 : x + y + z + 2 = 0$
$L : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{3}$

વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $\alpha$ અને $\beta \neq 0$ માટે,જો રેખાઓ $\frac{x-\alpha}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$ અને $\frac{x-4}{\beta}=\frac{y-6}{3}=\frac{z-7}{3}$ નું છેદબિંદુ સમતલ $x+2y-z=8$ પર આવેલું હોય,તો $\alpha-\beta$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $\theta$ એ સમતલો $P_1=\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k})=9$ અને $P_2=\vec{r} \cdot(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=15$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. ધારો કે $L$ એ રેખા છે જે $P_2$ ને $(4,-2,5)$ બિંદુએ મળે છે અને $P_2$ ના અભિલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. જો $\alpha$ એ $L$ અને $P_2$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $(\tan^2 \theta)(\cot^2 \alpha)$ ની કિંમત $...........$ થાય.

ધારો કે એક સમતલ $P$ બિંદુ $(3, 7, -7)$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $\frac{x-2}{-3} = \frac{y-3}{2} = \frac{z+2}{1}$ ને સમાવે છે. જો ઉગમબિંદુથી સમતલ $P$ નું અંતર $d$ હોય,તો $d^{2}$ ની કિંમત $.....$ છે.

ધારો કે બિંદુ $P(1,2,-1)$ માંથી સીધી રેખા $L: \frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{-1}$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $N$ છે. ધારો કે $P$ માંથી એક રેખા સમતલ $x+y+2z=0$ ને સમાંતર દોરવામાં આવે છે જે $L$ ને બિંદુ $Q$ પર મળે છે. જો $\alpha$ એ રેખાઓ $PN$ અને $PQ$ વચ્ચેનો લઘુકોણ હોય,તો $\cos \alpha$ ની કિંમત $.....$ છે.

$\text{જેના માટે સુરેખા } \frac{x-\lambda}{3}=\frac{y-1}{2+\lambda}=\frac{z-3}{-1} \text{ એ સમતલ } x-2y=0 \text{ પર આવેલી હોય તેવી } \lambda \text{ ની કિંમત શોધો.}$