समतल P_1 और P_2 के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले | vedclass

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Question

(D) समतल $P_1$ और $P_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।$(3x + 2y + 5z + 1) + \lambda

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$2x + 5y - 4z + 19 = 0$

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(D) समतल $P_1$ और $P_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।$(3x + 2y + 5z + 1) + \lambda(x + y + z + 2) = 0$$(3 + \lambda)x + (2 + \lambda)y + (5 + \lambda)z + (1 + 2\lambda) = 0$चूंकि यह समतल रेखा $L$ (दिशानुपात $(1, 2, 3)$) के समानांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब रेखा के लंबवत होना चाहिए। अतः,अभिलंब सदिश $(3 + \lambda, 2 + \lambda, 5 + \lambda)$ और रेखा के दिशा सदिश $(1, 2, 3)$ का डॉट गुणनफल शून्य होगा।$1(3 + \lambda) + 2(2 + \lambda) + 3(5 + \lambda) = 0$$3 + \lambda + 4 + 2\lambda + 15 + 3\lambda = 0$$6\lambda + 22 = 0$$6\lambda = -22 \Rightarrow \lambda = -\frac{11}{3}$$\lambda = -\frac{11}{3}$ को समतल के समीकरण में रखने पर:$(3 - \frac{11}{3})x + (2 - \frac{11}{3})y + (5 - \frac{11}{3})z + (1 - \frac{22}{3}) = 0$$-\frac{2}{3}x - \frac{5}{3}y + \frac{4}{3}z - \frac{19}{3} = 0$$-3$ से गुणा करने पर,हमें $2x + 5y - 4z + 19 = 0$ प्राप्त होता है।

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समतल $x + y + z = 5$ और समतलों $3x + 4y + z - 1 = 0$ तथा $5x + 8y + 2z + 14 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा के बीच का कोण है

$k$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$,समतल $2x-4y+z=7$ पर स्थित है।

यदि रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{4}$ समतल $x+2y+3z=15$ को बिंदु $P$ पर मिलती है,तो मूल बिंदु से $P$ की दूरी क्या है?

$x+y+z=1$ और $2x+3y-z+4=0$ समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और $Y$-अक्ष के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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