समाकलन ज्ञात कीजिए: int frac{dx}{sin x + sin | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $I = \int \frac{dx}{\sin x + \sin 2x}$.$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$I = \int \frac{dx}{\sin x(1 + 2 \cos x)}$.अंश और

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$\frac{1}{6} \log (1-\cos x) - \frac{1}{2} \log (1+\cos x) - \frac{2}{3} \log |1+2 \cos x| + c$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $I = \int \frac{dx}{\sin x + \sin 2x}$.$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$I = \int \frac{dx}{\sin x(1 + 2 \cos x)}$.अंश और हर को $\sin x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{\sin x dx}{\sin^2 x(1 + 2 \cos x)} = \int \frac{\sin x dx}{(1 - \cos^2 x)(1 + 2 \cos x)} = \int \frac{\sin x dx}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)(1 + 2 \cos x)}$.माना $\cos x = t$,तो $-\sin x dx = dt$,अतः $I = -\int \frac{dt}{(1-t)(1+t)(1+2t)}$.आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(1-t)(1+t)(1+2t)} = \frac{A}{1-t} + \frac{B}{1+t} + \frac{C}{1+2t}$.स्थिरांकों का मान निकालने पर: $A = \frac{1}{6}$,$B = \frac{1}{2}$,$C = -\frac{4}{3}$.अतः,$I = -\int (\frac{1/6}{1-t} + \frac{1/2}{1+t} - \frac{4/3}{1+2t}) dt = \frac{1}{6} \log |1-t| - \frac{1}{2} \log |1+t| + \frac{2}{3} \log |1+2t| + c$.$t = \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{1}{6} \log |1-\cos x| - \frac{1}{2} \log |1+\cos x| + \frac{2}{3} \log |1+2 \cos x| + c$.

समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \frac{dx}{\sin x + \sin 2x}$

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$\int \frac{dx}{(x + 1)(x + 2)} = $

$\int {\frac{{{x^2} + x - 1}}{{{x^2} + x - 6}}} \,dx = $

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$\int \frac{3x-2}{(x+1)(x-2)^2} dx = $ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

$\int \frac{dx}{x(x+1)}$ का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है।

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