समाकल का मान ज्ञात कीजिए: int sqrt{4x(4x + 4) | vedclass

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Question

(A) दिया गया समाकल $I = \int \sqrt{16x^2 + 16x} \, dx = 4 \int \sqrt{x^2 + x} \, dx$ है।पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2 + x = (x + \frac{1}{2})^2 - (\frac{1

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$\frac{1}{\log 2} [\frac{2^x}{2} \sqrt{4^x + 4} + 2 \log |2^x + \sqrt{4^x + 4}|] + c$

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(A) दिया गया समाकल $I = \int \sqrt{16x^2 + 16x} \, dx = 4 \int \sqrt{x^2 + x} \, dx$ है।पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2 + x = (x + \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2$।सूत्र $\int \sqrt{u^2 - a^2} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{u^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \log |u + \sqrt{u^2 - a^2}| + c$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $u = x + \frac{1}{2}$ और $a = \frac{1}{2}$ है।$I = 4 [\frac{x + 1/2}{2} \sqrt{(x + 1/2)^2 - (1/2)^2} - \frac{1/4}{2} \log |(x + 1/2) + \sqrt{(x + 1/2)^2 - (1/2)^2}|] + c$।$I = 2(2x + 1) \sqrt{x^2 + x} - \frac{1}{2} \log |x + 1/2 + \sqrt{x^2 + x}| + c$।नोट: दिए गए विकल्प $\int \sqrt{4^x + 4} \, dx$ जैसे घातांकीय रूपों पर आधारित प्रतीत होते हैं। यदि प्रश्न $\int \sqrt{4^x + 4} \, dx$ है, तो $u = 2^x$ रखने पर, $du = 2^x \log 2 \, dx$ प्राप्त होता है। विकल्प $A$ घातांकीय समाकल के लिए सबसे निकटतम संरचनात्मक रूप है।

समाकल का मान ज्ञात कीजिए: $\int \sqrt{4x(4x + 4)} \, dx$

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