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Question

(D) दिया गया समीकरण $x^4 + x^3 = 2(x^2 + 3ax + 2a^2)$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x^4 + x^3 - 2x^2 - 6ax - 4a^2 = 0$ प्राप्त होता है।इसे ग

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$[ - \frac{1}{8}, \frac{1}{2} ]$

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(D) दिया गया समीकरण $x^4 + x^3 = 2(x^2 + 3ax + 2a^2)$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x^4 + x^3 - 2x^2 - 6ax - 4a^2 = 0$ प्राप्त होता है।इसे गुणनखंडित करने पर $(x^2 + 2x + 2a)(x^2 - x - 2a) = 0$ प्राप्त होता है।समीकरण के चार वास्तविक हल होने के लिए,दोनों द्विघात गुणनखंडों के विविक्तकर (discriminant) शून्य या उससे अधिक होने चाहिए।$x^2 + 2x + 2a = 0$ के लिए,विविक्तकर $D_1 = 2^2 - 4(1)(2a) = 4 - 8a \geq 0$,जिसका अर्थ है $a \leq \frac{1}{2}$।$x^2 - x - 2a = 0$ के लिए,विविक्तकर $D_2 = (-1)^2 - 4(1)(-2a) = 1 + 8a \geq 0$,जिसका अर्थ है $a \geq -\frac{1}{8}$।इन शर्तों को मिलाने पर,$a$ के लिए समुच्चय $[ - \frac{1}{8}, \frac{1}{2} ]$ प्राप्त होता है।

$a$ के मानों का वह सटीक समुच्चय ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण ${x^3}(x + 1) = 2(x + a)(x + 2a)$ के चार वास्तविक हल हों:

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यदि $2 + i\sqrt{3}$ समीकरण $x^2 + px + q = 0$ का एक मूल है,जहाँ $p$ और $q$ वास्तविक हैं,तो $(p, q) = $

दिए गए दो समीकरणों को हल करें और दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।
$I.$ $3216 x^{2} + 3859 x + 481 = 0$
$II.$ $8132 y^{2} - 4839 y + 978 = 0$

दिए गए दो समीकरणों को हल करें और दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।
$I.$ $x = \sqrt[3]{4913}$
$II.$ $13y + 3x = 246$

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