તપાસો કે શું રોલનું પ્રમેય વિધેય $f(x) = x^{2} - 1$ માટે $x \in [1, 2]$ અંતરાલમાં લાગુ પડે છે. શું તમે આ ઉદાહરણ પરથી રોલના પ્રમેયના પ્રતિપ વિધાન વિશે કંઈ કહી શકો?

(N/A) રોલના પ્રમેય મુજબ,વિધેય $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ માટે,જો:
$1$) $f$ એ $[a, b]$ પર સતત હોય
$2$) $f$ એ $(a, b)$ પર વિકલનીય હોય
$3$) $f(a) = f(b)$ હોય
તો,$(a, b)$ માં ઓછામાં ઓછું એક એવું $c$ મળે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય.
વિધેય $f(x) = x^{2} - 1$ માટે અંતરાલ $[1, 2]$ માં:
- $f(x)$ બહુપદી વિધેય હોવાથી તે $[1, 2]$ પર સતત છે અને $(1, 2)$ પર વિકલનીય છે.
- અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમતો:
$f(1) = (1)^{2} - 1 = 0$
$f(2) = (2)^{2} - 1 = 3$
- અહીં $f(1) \neq f(2)$ હોવાથી,રોલના પ્રમેયની ત્રીજી શરતનું પાલન થતું નથી.
તેથી,$f(x) = x^{2} - 1$ માટે $[1, 2]$ અંતરાલમાં રોલનું પ્રમેય લાગુ પડતું નથી.
પ્રતિપ વિધાન વિશે: રોલના પ્રમેયનું પ્રતિપ વિધાન એવું કહે છે કે જો કોઈ $c \in (a, b)$ માટે $f'(c) = 0$ હોય,તો $f(a) = f(b)$ થાય. આ હંમેશા સાચું નથી. ઉદાહરણ તરીકે,જો $f(x) = x^{2}$ હોય,તો $x = 0$ આગળ $f'(0) = 0$ થાય છે,પરંતુ $f(-1) = 1$ અને $f(1) = 1$ છે. જોકે,અન્ય વિધેયો માટે $f'(c) = 0$ હોવાનો અર્થ એ નથી કે $f(a) = f(b)$ થાય જ.