તપાસો કે $f(x) = \sin |x|$ એ સતત વિધેય છે કે નહીં.

(N/A) ધારો કે $f(x) = \sin |x|$.
આ વિધેય $f$ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે વ્યાખ્યાયિત છે અને $f$ ને બે વિધેયોના સંયોજન તરીકે $f = h \circ g$ લખી શકાય,જ્યાં $g(x) = |x|$ અને $h(x) = \sin x$.
$[\because (h \circ g)(x) = h(g(x)) = h(|x|) = \sin |x| = f(x)]$
પ્રથમ,આપણે સાબિત કરીશું કે $g(x) = |x|$ અને $h(x) = \sin x$ સતત વિધેયો છે.
$g(x) = |x|$ ને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$g(x) = \begin{cases} -x, & \text{જો } x < 0 \\ x, & \text{જો } x \ge 0 \end{cases}$
સ્પષ્ટ છે કે,$g$ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે. ધારો કે $c$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
કિસ્સો $I$: જો $c < 0$,તો $g(c) = -c$ અને $\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} (-x) = -c$. આમ,$\lim_{x \to c} g(x) = g(c)$. તેથી,$g$ એ $x < 0$ માટે સતત છે.
કિસ્સો $II$: જો $c > 0$,તો $g(c) = c$ અને $\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} (x) = c$. આમ,$\lim_{x \to c} g(x) = g(c)$. તેથી,$g$ એ $x > 0$ માટે સતત છે.
કિસ્સો $III$: જો $c = 0$,તો $g(0) = 0$. $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$ અને $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} (x) = 0$. કારણ કે $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = g(0)$,તેથી $g$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.
આમ,$g(x) = |x|$ દરેક જગ્યાએ સતત છે.
હવે,$h(x) = \sin x$ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે વ્યાખ્યાયિત છે. ધારો કે $c$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે. $x = c + k$ મૂકો. જો $x \to c$,તો $k \to 0$.
$\lim_{x \to c} h(x) = \lim_{k \to 0} \sin(c + k) = \lim_{k \to 0} (\sin c \cos k + \cos c \sin k) = \sin c(1) + \cos c(0) = \sin c = h(c)$.
આમ,$h(x) = \sin x$ દરેક જગ્યાએ સતત છે.
બે સતત વિધેયોનું સંયોજન સતત હોવાથી,$f(x) = (h \circ g)(x) = \sin |x|$ એ સતત વિધેય છે.