जाँच कीजिए कि क्या $f(x) = \sin |x|$ एक संतत फलन है।

(N/A) माना $f(x) = \sin |x|$ है।
यह फलन $f$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है और $f$ को दो फलनों के संयोजन $f = h \circ g$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $g(x) = |x|$ और $h(x) = \sin x$ है।
$[\because (h \circ g)(x) = h(g(x)) = h(|x|) = \sin |x| = f(x)]$
सबसे पहले,हम सिद्ध करेंगे कि $g(x) = |x|$ और $h(x) = \sin x$ संतत फलन हैं।
$g(x) = |x|$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$g(x) = \begin{cases} -x, & \text{यदि } x < 0 \\ x, & \text{यदि } x \ge 0 \end{cases}$
स्पष्ट है कि $g$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। माना $c$ एक वास्तविक संख्या है।
स्थिति $I$: यदि $c < 0$,तो $g(c) = -c$ और $\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} (-x) = -c$ है। अतः,$\lim_{x \to c} g(x) = g(c)$ है। इसलिए,$g$ फलन $x < 0$ के लिए संतत है।
स्थिति $II$: यदि $c > 0$,तो $g(c) = c$ और $\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} (x) = c$ है। अतः,$\lim_{x \to c} g(x) = g(c)$ है। इसलिए,$g$ फलन $x > 0$ के लिए संतत है।
स्थिति $III$: यदि $c = 0$,तो $g(0) = 0$ है। $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} (x) = 0$ है। चूँकि $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = g(0)$ है,इसलिए $g$ फलन $x = 0$ पर संतत है।
इस प्रकार,$g(x) = |x|$ सर्वत्र संतत है।
अब,$h(x) = \sin x$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। माना $c$ एक वास्तविक संख्या है। $x = c + k$ रखें। यदि $x \to c$,तो $k \to 0$ होगा।
$\lim_{x \to c} h(x) = \lim_{k \to 0} \sin(c + k) = \lim_{k \to 0} (\sin c \cos k + \cos c \sin k) = \sin c(1) + \cos c(0) = \sin c = h(c)$ है।
अतः,$h(x) = \sin x$ सर्वत्र संतत है।
चूँकि दो संतत फलनों का संयोजन संतत होता है,इसलिए $f(x) = (h \circ g)(x) = \sin |x|$ एक संतत फलन है।