નીચેના વિધેયો માટે મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) ની લાગુ પડવાની શક્યતા તપાસો:
$(i)$ $f(x) = [x]$,$x \in [5, 9]$ માટે
$(ii)$ $f(x) = [x]$,$x \in [-2, 2]$ માટે
$(iii)$ $f(x) = x^{2} - 1$,$x \in [1, 2]$ માટે

(N/A) મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,જો વિધેય $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ માટે:
a) $f$ એ $[a, b]$ પર સતત હોય
b) $f$ એ $(a, b)$ પર વિકલનીય હોય
તો,કોઈક $c \in (a, b)$ એવું મળે કે જેથી $f^{\prime}(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ થાય.
$(i)$ $f(x) = [x]$,$x \in [5, 9]$ માટે. મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x]$ એ પૂર્ણાંક બિંદુઓ આગળ સતત નથી. $[5, 9]$ માં પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ હોવાથી,$f(x)$ એ $[5, 9]$ પર સતત નથી. તેથી,મધ્યકમાન પ્રમેય લાગુ પડતું નથી.
$(ii)$ $f(x) = [x]$,$x \in [-2, 2]$ માટે. $(i)$ ની જેમ જ,આ વિધેય પૂર્ણાંક બિંદુઓ આગળ સતત નથી. તેથી,મધ્યકમાન પ્રમેય લાગુ પડતું નથી.
$(iii)$ $f(x) = x^{2} - 1$,$x \in [1, 2]$ માટે. $f(x)$ એ બહુપદી વિધેય છે,જે $[1, 2]$ પર સતત છે અને $(1, 2)$ પર વિકલનીય છે. તેથી,મધ્યકમાન પ્રમેય લાગુ પડે છે.
અહીં $f^{\prime}(c) = \frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = \frac{3 - 0}{1} = 3$ થાય. $f^{\prime}(x) = 2x$ હોવાથી,$2c = 3$ મળે,એટલે કે $c = 1.5$. $1.5 \in (1, 2)$ હોવાથી,પ્રમેય સાચું ઠરે છે.