જો $27a + 9b + 3c + d = 0$ હોય,તો સમીકરણ $4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d = 0$ નું ઓછામાં ઓછું એક બીજ કોની વચ્ચે હોય?

$a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{3}+\frac{a_{3}}{4}=0$ નું સમાધાન કરતા $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે, સમીકરણ $a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}=0$ ને કયા અંતરાલમાં વાસ્તવિક બીજ મળે છે?

વિધેય $f(x)=x(x-1)(x-2)$ માટે અંતરાલ $[0, 1/2]$ માં લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $C$ નું મૂલ્ય શોધો.

વિધેય $y=x^{2}+2$ માટે અંતરાલ $[-2, 2]$ પર રોલના પ્રમેયની ચકાસણી કરો.

જો વિધેય $f(x)=x^3+ax^2+bx+40$ એ અંતરાલ $[-5,4]$ પર રોલના પ્રમેયની શરતોનું પાલન કરે છે અને $-5,4$ એ સમીકરણ $f(x)=0$ ના બે બીજ છે, તો તે પ્રમેયમાં જણાવ્યા મુજબ $c$ ની કિંમતોમાંની એક કિંમત છે

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} \frac{x^p}{(\sin x)^q} & \text{જો } 0 < x \leq \frac{\pi}{2} \\ 0 & \text{જો } x = 0 \end{cases}$ જ્યાં $p, q \in \mathbb{R}$. તો, લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $[0, \frac{\pi}{2}]$ સંવૃત અંતરાલમાં $f(x)$ માટે લાગુ પડે છે જો: