વિધેય $y=x^{2}+2$ માટે અંતરાલ $[-2, 2]$ પર રોલના પ્રમેયની ચકાસણી કરો.

જો $f: R \rightarrow R$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી તમામ $x \in R$ માટે $f^{\prime \prime}(x) > 0$ હોય,અને $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$,$f(1) = 1$ હોય,તો

ધારો કે $f(x)$ એ $[2,7]$ માં વિકલનીય વિધેય છે. જો $f(2)=3$ અને $(2,7)$ માં તમામ $x$ માટે $f^{\prime}(x) \leq 5$ હોય, તો $x=7$ આગળ $f(x)$ ની મહત્તમ શક્ય કિંમત કેટલી થાય?

અંતરાલ $[-2, 2]$ માં વક્ર $y = x^3$ માટે,તે બિંદુઓના અભિસંધાન (abscissae) શોધો જ્યાં સ્પર્શકનો ઢાળ એ અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી છેદિકા રેખાના ઢાળ જેટલો હોય,જે મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ છે.

ધારો કે $f$ એ તમામ $x$ માટે વિકલનીય છે. જો $f(1) = -2$ અને $x \in [1, 6]$ માટે $f'(x) \ge 2$ હોય,તો

જો વિધેય $f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6$, જે $[1, 3]$ પર વ્યાખ્યાયિત છે, તે $c = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે રોલેના પ્રમેયની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે, તો