अंतराल $[-2, 2]$ पर फलन $y=x^{2}+2$ के लिए रोले के प्रमेय का सत्यापन कीजिए।

फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$,$x \in [1, 3]$ के लिए,माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार $c$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए कि $f(x)$, $[0,6]$ पर सतत है और $(0,6)$ पर अवकलनीय है। मान लीजिए $f(0)=12$ और $f(6)=-4$ है। यदि $g(x)=\frac{f(x)}{x+1}$ है, तो किसी लैग्रेंज स्थिरांक $c \in(0,6)$ के लिए, $g^{\prime}(c)=$

मान लीजिए कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x)=2+\cos x$ है।
$\text{कथन}-1$: प्रत्येक वास्तविक $t$ के लिए,$[t, t+\pi]$ में एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c)=0$ है। क्योंकि
$\text{कथन}-2$: प्रत्येक वास्तविक $t$ के लिए $f(t)=f(t+2\pi)$ है।

माना $f(x) = \begin{cases} \frac{x^p}{(\sin x)^q} & \text{यदि } 0 < x \leq \frac{\pi}{2} \\ 0 & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$ जहाँ $p, q \in \mathbb{R}$ है। तब, अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में $f(x)$ के लिए लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय लागू होता है यदि:

मान लीजिए $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $2a + 3b + 6c = 0$ और $g(x) = ax^2 + bx + c = 0$ का अंतराल $(1, 2)$ में कम से कम एक मूल है। यदि एक फलन $f: [1, 2] \rightarrow \mathbb{R}$ जिसके लिए रोले का प्रमेय लागू होता है,इस प्रकार है कि $f(x)$,$g(x)$ का एक आदिम (primitive) है,तो $f(x) = $