फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$,$x \in [1, 3]$ के लिए,माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार $c$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $f(x)$ एक फलन है जो $[1, 2]$ पर सतत है और $(1, 2)$ पर अवकलनीय है,जो $f(1) = 2, f(2) = 3$ और $f'(x) \geq 1$ (सभी $x \in (1, 2)$ के लिए) को संतुष्ट करता है। यदि $g(x) = \int_1^x f(t) \, dt$ (सभी $x \in [1, 2]$ के लिए) है,तो $[1, 2]$ पर $g(x)$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
कथन $I$: यदि $a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\ldots+\frac{a_n}{n+1}=0$, जहाँ $a_0, a_1, \ldots, a_n$ वास्तविक संख्याएँ हैं, तो बहुपद $P(x) = a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_n x^n$ का अंतराल $(0,1)$ में एक शून्य है।
कथन $II$: यदि $f:[a, b] \rightarrow R$, $[a, b]$ पर सतत है और $f$, $(a, b)$ में अवकलनीय है, जहाँ $a>0$ और यदि $\frac{f(a)}{a}=\frac{f(b)}{b}$ है, तो एक ऐसा $c \in(a, b)$ मौजूद है कि $c f^{\prime}(c)=f(c)$ हो।
निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?

मान लीजिए $f(x)$ और $g(x)$ $R$ में दो अवकलनीय फलन हैं,जहाँ $f(2) = 8, g(2) = 0, f(4) = 10$ और $g(4) = 8$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि $f(x) = x^2 - 2x + 4$ और $\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = f'(c)$ है,तो $c$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $f:[1,3] \rightarrow R$ एक सतत फलन है जो $(1,3)$ में अवकलनीय है और सभी $x \in(1,3)$ के लिए $f^{\prime}(x)=|f(x)|^{2}+4$ है। तो,