જો વિધેય f(x)=x^3+ax^2+bx+40 એ અંતરાલ [-5,4] | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 40$. $-5$ અને $4$ એ $f(x) = 0$ ના બીજ હોવાથી, $f(-5) = 0$ અને $f(4) = 0$ થાય. $f(-5) = (-5)^3 + a(-5)^2 + b(-

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1+\sqrt{67}}{3}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 40$. $-5$ અને $4$ એ $f(x) = 0$ ના બીજ હોવાથી, $f(-5) = 0$ અને $f(4) = 0$ થાય. $f(-5) = (-5)^3 + a(-5)^2 + b(-5) + 40 = -125 + 25a - 5b + 40 = 25a - 5b - 85 = 0 \Rightarrow 5a - b = 17$ $(i)$. $f(4) = (4)^3 + a(4)^2 + b(4) + 40 = 64 + 16a + 4b + 40 = 16a + 4b + 104 = 0 \Rightarrow 4a + b = -26$ $(ii)$. $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા, $9a = -9 \Rightarrow a = -1$ મળે. $(i)$ માં $a = -1$ મૂકતા, $5(-1) - b = 17 \Rightarrow -5 - b = 17 \Rightarrow b = -22$ મળે. આમ, $f(x) = x^3 - x^2 - 22x + 40$. રોલના પ્રમેય મુજબ, એવો $c \in (-5, 4)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય. $f'(x) = 3x^2 - 2x - 22$. $f'(c) = 0$ લેતા, $3c^2 - 2c - 22 = 0$ મળે. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $c = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(3)(-22)}}{2(3)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 264}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{268}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{67}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{67}}{3}$. $c \in (-5, 4)$ હોવાથી, $\frac{1+\sqrt{67}}{3} \approx 3.06$ એ અંતરાલમાં છે. તેથી, $c$ ની એક કિંમત $\frac{1+\sqrt{67}}{3}$ છે.

Similar Questions

એક વિધેય $f$ એ $[0,2]$ પર $f(x)=2+(x-1)^{2/3}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. નીચેનામાંથી કયું વિધાન ખોટું છે?

$[0,4]$ માં $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ માટે લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $c$ ની કિંમત શોધો.

અંતરાલ $[-6, 6]$ પર વિધેય $f(x) = 8x^2 - 7x + 5$ ને ધ્યાનમાં લો. મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) ના નિષ્કર્ષનું પાલન કરતું $c$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $f:[a, b] \rightarrow [c, d]$ એ સતત અને ચુસ્ત વધતું વિધેય હોય, તો $\frac{d-c}{b-a}$ એ શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module