यदि फलन f(x)=x^3+ax^2+bx+40 अंतराल [-5,4] पर | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 40$. चूंकि $-5$ और $4$ समीकरण $f(x) = 0$ के मूल हैं, इसलिए $f(-5) = 0$ और $f(4) = 0$ है। $f(-5) = (-5)^3 + a

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$\frac{1+\sqrt{67}}{3}$

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(B) दिया गया है $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 40$. चूंकि $-5$ और $4$ समीकरण $f(x) = 0$ के मूल हैं, इसलिए $f(-5) = 0$ और $f(4) = 0$ है। $f(-5) = (-5)^3 + a(-5)^2 + b(-5) + 40 = -125 + 25a - 5b + 40 = 25a - 5b - 85 = 0 \Rightarrow 5a - b = 17$ $(i)$. $f(4) = (4)^3 + a(4)^2 + b(4) + 40 = 64 + 16a + 4b + 40 = 16a + 4b + 104 = 0 \Rightarrow 4a + b = -26$ $(ii)$. $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर, $9a = -9 \Rightarrow a = -1$ प्राप्त होता है। $(i)$ में $a = -1$ रखने पर, $5(-1) - b = 17 \Rightarrow -5 - b = 17 \Rightarrow b = -22$ प्राप्त होता है। अतः, $f(x) = x^3 - x^2 - 22x + 40$. रोले के प्रमेय के अनुसार, एक ऐसा $c \in (-5, 4)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है। $f'(x) = 3x^2 - 2x - 22$. $f'(c) = 0$ रखने पर, $3c^2 - 2c - 22 = 0$ प्राप्त होता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $c = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(3)(-22)}}{2(3)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 264}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{268}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{67}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{67}}{3}$. चूंकि $c \in (-5, 4)$, मान $\frac{1+\sqrt{67}}{3} \approx 3.06$ अंतराल के भीतर है। अतः, $c$ का एक मान $\frac{1+\sqrt{67}}{3}$ है।

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