मान लीजिए f एक फलन है जो अंतराल [0, 1] पर अवक | vedclass

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Question

(A) एक फलन $g(x) = (1-x) \int_0^x f(t) dt$ को परिभाषित करें। चूंकि $f$ अंतराल $[0, 1]$ पर अवकलनीय है, यह $[0, 1]$ पर सतत है, और इसलिए समाकल $\int_0^x

Vedclass · Accepted Answer

एक ऐसा $c \in (0, 1)$ मौजूद है जिसके लिए $\int_0^c f(x) dx = (1-c) f(c)$ है

Vedclass · Answer

(A) एक फलन $g(x) = (1-x) \int_0^x f(t) dt$ को परिभाषित करें। चूंकि $f$ अंतराल $[0, 1]$ पर अवकलनीय है, यह $[0, 1]$ पर सतत है, और इसलिए समाकल $\int_0^x f(t) dt$ अवकलनीय है। हम देखते हैं कि $g(0) = (1-0) \int_0^0 f(t) dt = 1 	imes 0 = 0$ है। साथ ही, $g(1) = (1-1) \int_0^1 f(t) dt = 0 	imes \int_0^1 f(t) dt = 0$ है। चूंकि $g(x)$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है तथा $g(0) = g(1) = 0$ है, रोले के प्रमेय के अनुसार, कम से कम एक $c \in (0, 1)$ ऐसा मौजूद है जिसके लिए $g'(c) = 0$ है। अवकलन करने पर: $g'(x) = -1 \int_0^x f(t) dt + (1-x) f(x)$ प्राप्त होता है। $g'(c) = 0$ रखने पर, हमें $-(1-c) f(c) + \int_0^c f(t) dt = 0$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $\int_0^c f(t) dt = (1-c) f(c)$ है।

मान लीजिए $f$ एक फलन है जो अंतराल $[0, 1]$ पर अवकलनीय है। तो, निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

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