यदि रोले का प्रमेय अंतराल [-1, 1] में फलन f(x | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ अंतराल $[-1, 1]$ पर है।रोले के प्रमेय के अनुसार,यदि $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर सतत है,$(-1, 1)$ पर अवकलनीय

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$-1$

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(B) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ अंतराल $[-1, 1]$ पर है।रोले के प्रमेय के अनुसार,यदि $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर सतत है,$(-1, 1)$ पर अवकलनीय है और $f(-1) = f(1)$ है,तो कम से कम एक $c \in (-1, 1)$ ऐसा विद्यमान होगा कि $f'(c) = 0$ हो।सबसे पहले,$f(-1) = f(1)$ शर्त का उपयोग करते हैं:$f(1) = 2(1)^3 + a(1)^2 + b(1) = 2 + a + b$$f(-1) = 2(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) = -2 + a - b$$f(1) = f(-1)$ रखने पर:$2 + a + b = -2 + a - b$$2b = -4 \implies b = -2$अब,$c = \frac{1}{2}$ पर $f'(c) = 0$ शर्त का उपयोग करते हैं:$f'(x) = 6x^2 + 2ax + b$$f'\left(\frac{1}{2}\right) = 6\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2a\left(\frac{1}{2}\right) + b = 0$$6\left(\frac{1}{4}\right) + a + b = 0$$\frac{3}{2} + a + b = 0$$b = -2$ का मान रखने पर:$\frac{3}{2} + a - 2 = 0$$a - \frac{1}{2} = 0 \implies a = \frac{1}{2}$अंत में,$2a + b$ का मान ज्ञात करते हैं:$2a + b = 2\left(\frac{1}{2}\right) + (-2) = 1 - 2 = -1$

यदि रोले का प्रमेय अंतराल $[-1, 1]$ में फलन $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ के लिए बिंदु $c = \frac{1}{2}$ पर लागू होता है,तो $2a + b$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए कि $f(x)$, $[1, 6]$ पर अवकलनीय है और $f(1) = -2$ है। यदि $f(x)$ का $(1, 6)$ में केवल एक मूल (root) है, तो ऐसा $c \in (1, 6)$ मौजूद है कि:

यदि फलन $f(x) = x(x+3) e^{-\frac{x}{2}}$,$[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$,$[1, 3]$ अंतराल में रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है। तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या होंगे?

अंतराल $[1, 5]$ पर $f(x) = \sqrt{25-x^2}$ के लिए लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

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