मान लीजिए R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय | vedclass

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Question

(D) दिया गया है, $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x 
eq 0 \ 0, & x=0 \end{cases}$.$x=0$ पर सांतत्य: $LHL = \lim_{x ightarrow 0^-} x \si

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$f$, $[0,1]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय की शर्तों को पूरा करता है

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(D) दिया गया है, $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x 
eq 0 \ 0, & x=0 \end{cases}$.$x=0$ पर सांतत्य: $LHL = \lim_{x ightarrow 0^-} x \sin \frac{1}{x} = 0$ और $RHL = \lim_{x ightarrow 0^+} x \sin \frac{1}{x} = 0$. चूंकि $LHL = RHL = f(0)$, इसलिए $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर सतत है।$x=0$ पर अवकलनीयता: $f'(0) = \lim_{h ightarrow 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h ightarrow 0} \sin(1/h)$. यह सीमा अस्तित्व में नहीं है क्योंकि यह $-1$ और $1$ के बीच दोलन करती है। अतः, $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।रोले के प्रमेय के लिए $f(a) = f(b)$ और $(a, b)$ पर अवकलनीयता आवश्यक है। चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है, इसलिए यह $[-1, 1]$ या $[0, 1]$ पर रोले के प्रमेय को संतुष्ट नहीं करता है।लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ के लिए $[a, b]$ पर सांतत्य और $(a, b)$ पर अवकलनीयता आवश्यक है। अंतराल $[0, 1]$ के लिए, $f(x)$ अंतराल $[0, 1]$ पर सतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है। इसलिए, यह $[0, 1]$ पर $LMVT$ की शर्तों को पूरा करता है।

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मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ एक दो बार सतत अवकलनीय फलन है, इस प्रकार कि $f(0) = f(1) = f^{\prime}(0) = 0$ है। तो:

यदि $f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6, x \in [1, 3]$ रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है और $f'\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ है,तो $a$ और $b$ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ एक दो बार सतत अवकलनीय फलन है, इस प्रकार कि $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$ है। तो:

अंतराल $[2,6]$ में $f(x)=\sqrt{x-2}$ के लिए लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय में $c$ का मान क्या है?

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