मान लीजिए कि फलन $f:[-7,0] \rightarrow R$,$[-7,0]$ पर संतत है और $(-7,0)$ पर अवकलनीय है। यदि $f(-7)=-3$ और सभी $x \in (-7,0)$ के लिए $f'(x) \leq 2$ है,तो ऐसे सभी फलनों $f$ के लिए,$f(-1)+f(0)$ किस अंतराल में स्थित है?

$a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{3}+\frac{a_{3}}{4}=0$ को संतुष्ट करने वाले $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}$ के सभी वास्तविक मानों के लिए, समीकरण $a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}=0$ का किस अंतराल में एक वास्तविक मूल है?

समय $t$ पर एक चलती कार की स्थिति $f(t) = at^{2} + bt + c, t > 0$ द्वारा दी गई है,जहाँ $a, b$ और $c$ $1$ से बड़ी वास्तविक संख्याएँ हैं। तो समय अंतराल $[t_{1}, t_{2}]$ के दौरान कार की औसत गति किस बिंदु पर प्राप्त होती है?

यदि $f$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि $f(2x + 1) = f(1 - 2x)$ सभी $x \in R$ के लिए,तो $x \in (-5, 10)$ में समीकरण $f'(x) = 0$ के मूलों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए,दिया गया है कि $f(2) = f(5) = f(10)$ है।

यदि $f(x) = x^{3}$ और $g(x) = x^{3} - 4x$ अंतराल $[-2, 2]$ में हैं,तो निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$(a)$ $f(x)$ और $g(x)$ माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को संतुष्ट करते हैं।
$(b)$ $f(x)$ और $g(x)$ दोनों रोले के प्रमेय (Rolle's Theorem) को संतुष्ट करते हैं।
$(c)$ केवल $g(x)$ रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है।
इनमें से कौन सा कथन सही है?

मान लीजिए $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है और $f:[-1,1] \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो: