ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $f:[-1,1] \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો:

જો $2a + 3b + 6c = 0$ હોય,તો સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ નું ઓછામાં ઓછું એક બીજ કયા અંતરાલમાં હોય?

ધારો કે $f$ એ $[2,7]$ પર વ્યાખ્યાયિત બહુપદી વિધેય છે. જો $f(2)=3$ અને $(2,7)$ માં તમામ $x$ માટે $f^{\prime}(x) \leq 5$ હોય,તો $x=7$ આગળ $f$ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ શક્ય કિંમત કેટલી છે?

જો વિધેય $f(x) = x + \frac{1}{x}$ માટે અંતરાલ $x \in [1, 3]$ પર $L.M.V.T.$ લાગુ પડતું હોય,તો $c$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x)=x^3+p x^2+q x$ એ $[0,2]$ પર વ્યાખ્યાયિત હોય અને $f(0)=f(2)$ તથા $f^{\prime}\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0$ હોય,તો $p^2+q^2=$

આપેલ છે કે $f(x)$ એ $a \le x \le b$ પર સતત વિકલનીય છે જ્યાં $a < b, f(a) < 0$ અને $f(b) > 0$,તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો હંમેશા સાચા છે?
$(i)$ $f(x)$ એ $a \le x \le b$ પર સીમિત (bounded) છે.
$(ii)$ સમીકરણ $f(x) = 0$ ને $a < x < b$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે.
$(iii)$ $f(x)$ ની $a \le x \le b$ પર મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો એવા બિંદુઓ પર મળે છે જ્યાં $f'(c) = 0$ હોય.
$(iv)$ $a < c < b$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c$ એવું છે જ્યાં $f'(c) > 0$ હોય.
$(v)$ $a < d < b$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $d$ એવું છે જ્યાં $f'(d) < 0$ હોય.