એક ક્લબ-ટીમના $15$ ફૂટબોલ ખેલાડીઓને તેમની પાછળ નામ લખેલી $15$ ટી-શર્ટ આપવામાં આવે છે. જો ખેલાડીઓ યાદચ્છિક રીતે ટી-શર્ટ પસંદ કરે,તો ઓછામાં ઓછા $3$ ખેલાડીઓ સાચી ટી-શર્ટ પસંદ કરે તેની સંભાવના કેટલી છે?

એક માણસ વારંવાર એક નિષ્પક્ષ સિક્કો ઉછાળે છે. તેને દરેક છાપ (head) માટે $10$ પોઈન્ટ અને દરેક કાંટા (tail) માટે $5$ પોઈન્ટ મળે છે. જો તેને બરાબર $30$ પોઈન્ટ મળે તેની સંભાવના $\frac{m}{n}$ હોય, જ્યાં $\text{gcd}(m, n) = 1$, તો $m + n$ ની કિંમત શોધો:

$A$ અને $B$ એ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે જ્યાં $P(A)=\frac{1}{4}$ અને $P(A \cup B)=2 P(B)-P(A)$ હોય,તો $P(B)$ શોધો.

સ્તંભ-$I$ માં આપેલા વિધાનોને સ્તંભ-$II$ સાથે જોડો.

સ્તંભ-$I$	સ્તંભ-$II$
$(A)$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક રેખા રેખાઓ $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{1}$ અને $\frac{x-\frac{8}{3}}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-1}{1}$ ને અનુક્રમે $P$ અને $Q$ માં મળે છે. જો લંબાઈ $PQ=d$ હોય,તો $d^2$ છે	$(p)$ $-4$
$(B)$ $\tan ^{-1}(x+3)-\tan ^{-1}(x-3)=\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ નું સમાધાન કરતા $x$ ના મૂલ્યો છે	$(q)$ $0$
$(C)$ શૂન્યતર સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ એ $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$,$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\vec{b}+\vec{c})=0$ અને $2|\vec{b}+\vec{c}|=|\vec{b}-\vec{a}|$ નું સમાધાન કરે છે. જો $\vec{a}=\mu \vec{b}+4 \vec{c}$ હોય,તો $\mu$ ના શક્ય મૂલ્યો છે	$(r)$ $4$
$(D)$ ધારો કે $f$ એ $[-\pi, \pi]$ પરનું વિધેય છે,જ્યાં $f(0)=9$ અને $x \neq 0$ માટે $f(x)=\frac{\sin \left(\frac{9 x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}$ છે. $\frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) dx$ નું મૂલ્ય છે	$(s)$ $5$
	$(t)$ $6$

ધારો કે $B_{i} (i=1, 2, 3)$ એ નમૂના અવકાશમાં ત્રણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે. માત્ર $B_{1}$ બને તેની સંભાવના $\alpha$ છે,માત્ર $B_{2}$ બને તેની સંભાવના $\beta$ છે અને માત્ર $B_{3}$ બને તેની સંભાવના $\gamma$ છે. ધારો કે $p$ એ સંભાવના છે કે કોઈ પણ ઘટના $B_{i}$ બનતી નથી અને આ $4$ સંભાવનાઓ સમીકરણો $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ અને $(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ નું પાલન કરે છે (બધી સંભાવનાઓ અંતરાલ $(0, 1)$ માં છે તેમ ધારવામાં આવે છે). તો $\frac{P(B_{1})}{P(B_{3})}$ ની કિંમત .......... છે.

ચાર વ્યક્તિઓ $A$, $B$, $C$ અને $D$ એક નિષ્પક્ષ પાસો વારાફરતી ફેંકે છે, જ્યાં સુધી કોઈ એકને બેકી સંખ્યા ન મળે અને તે રમત જીતી ન જાય. જો $A$ રમતની શરૂઆત કરે, તો $A$ જીતે તેની સંભાવના કેટલી?