अवकल समीकरण (x+1) frac{dy}{dx} = 2e^{-y} - 1 | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+1) \frac{dy}{dx} = 2e^{-y} - 1$चरों को पृथक करने पर:$\frac{dy}{2e^{-y} - 1} = \frac{dx}{x+1}$अंश और हर को $e^y$ से गुणा

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$y = \log \left| \frac{2x+1}{x+1} ight|, (x 
eq -1)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+1) \frac{dy}{dx} = 2e^{-y} - 1$चरों को पृथक करने पर:$\frac{dy}{2e^{-y} - 1} = \frac{dx}{x+1}$अंश और हर को $e^y$ से गुणा करने पर:$\frac{e^y dy}{2 - e^y} = \frac{dx}{x+1}$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int \frac{e^y dy}{2 - e^y} = \int \frac{dx}{x+1}$माना $t = 2 - e^y$,तब $dt = -e^y dy$,अतः $e^y dy = -dt$:$-\int \frac{dt}{t} = \log |x+1| + C$$-\log |2 - e^y| = \log |x+1| + C$प्रतिबंध $x = 0$ पर $y = 0$ का उपयोग करने पर:$-\log |2 - e^0| = \log |0+1| + C$$-\log |1| = \log |1| + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$अतः,$-\log |2 - e^y| = \log |x+1|$$\log |2 - e^y|^{-1} = \log |x+1|$$\frac{1}{2 - e^y} = x+1$$2 - e^y = \frac{1}{x+1}$$e^y = 2 - \frac{1}{x+1} = \frac{2x+2-1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$$y = \log \left| \frac{2x+1}{x+1} ight|, (x 
eq -1)$

अवकल समीकरण $(x+1) \frac{dy}{dx} = 2e^{-y} - 1$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,दिया गया है कि $x = 0$ पर $y = 0$ है।

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