यदि frac{dy}{dx} + frac{2^{x-y}(2^y - 1)}{2^x | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{2^{x-y}(2^y - 1)}{2^x - 1} = 0$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = -\frac{2^x \cdot 2^{

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$2 - \log_2 3$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{2^{x-y}(2^y - 1)}{2^x - 1} = 0$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = -\frac{2^x \cdot 2^{-y}(2^y - 1)}{2^x - 1} = -\frac{2^x(2^y - 1)}{2^y(2^x - 1)}$.चरों को अलग करने पर: $\frac{2^y}{2^y - 1} dy = -\frac{2^x}{2^x - 1} dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{2^y}{2^y - 1} dy = -\int \frac{2^x}{2^x - 1} dx$.$u = 2^y - 1$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$du = 2^y \ln 2 \, dy$,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{\ln 2} \ln|2^y - 1| = -\frac{1}{\ln 2} \ln|2^x - 1| + C$.$\ln 2$ से गुणा करने पर: $\ln|2^y - 1| + \ln|2^x - 1| = C_1$,जहाँ $C_1 = C \ln 2$.यह सरल होकर $(2^y - 1)(2^x - 1) = K$ हो जाता है,जहाँ $K = e^{C_1}$.$y(1) = 1$ दिया गया है,अतः $(2^1 - 1)(2^1 - 1) = K \implies (1)(1) = K \implies K = 1$.अतः,$(2^y - 1)(2^x - 1) = 1$.$x = 2$ के लिए,$(2^y - 1)(2^2 - 1) = 1 \implies (2^y - 1)(3) = 1$.$2^y - 1 = \frac{1}{3} \implies 2^y = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.दोनों पक्षों का $\log_2$ लेने पर: $y = \log_2(\frac{4}{3}) = \log_2 4 - \log_2 3 = 2 - \log_2 3$.

यदि $\frac{dy}{dx} + \frac{2^{x-y}(2^y - 1)}{2^x - 1} = 0$,$x, y > 0$,और $y(1) = 1$ है,तो $y(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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