$f$ ના તમામ અસાતત્યના બિંદુઓ શોધો,જ્યાં $f$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(x) = \begin{cases} |x| + 3, & \text{જો } x \le -3 \\ -2x, & \text{જો } -3 < x < 3 \\ 6x + 2, & \text{જો } x \ge 3 \end{cases}$
$f(x) = \begin{cases} |x| + 3, & \text{જો } x \le -3 \\ -2x, & \text{જો } -3 < x < 3 \\ 6x + 2, & \text{જો } x \ge 3 \end{cases}$
(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} |x| + 3, & \text{જો } x \le -3 \\ -2x, & \text{જો } -3 < x < 3 \\ 6x + 2, & \text{જો } x \ge 3 \end{cases}$ છે.
કિસ્સો $I$: જો $c < -3$,તો $f(c) = -c + 3$. લક્ષ $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (-x + 3) = -c + 3 = f(c)$. આમ,$x < -3$ માટે $f$ સતત છે.
કિસ્સો $II$: જો $c = -3$,તો $f(-3) = |-3| + 3 = 6$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^-} (-x + 3) = -(-3) + 3 = 6$. જમણી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to -3^+} f(x) = \lim_{x \to -3^+} (-2x) = -2(-3) = 6$. કારણ કે $\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^+} f(x) = f(-3)$,તેથી $x = -3$ આગળ $f$ સતત છે.
કિસ્સો $III$: જો $-3 < c < 3$,તો $f(c) = -2c$. લક્ષ $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (-2x) = -2c = f(c)$. આમ,$x \in (-3, 3)$ માટે $f$ સતત છે.
કિસ્સો $IV$: જો $c = 3$,તો $f(3) = 6(3) + 2 = 20$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (-2x) = -2(3) = -6$. જમણી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (6x + 2) = 6(3) + 2 = 20$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $\neq$ જમણી બાજુનું લક્ષ હોવાથી,$x = 3$ આગળ $f$ અસતત છે.
કિસ્સો $V$: જો $c > 3$,તો $f(c) = 6c + 2$. લક્ષ $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (6x + 2) = 6c + 2 = f(c)$. આમ,$x > 3$ માટે $f$ સતત છે.
તેથી,અસાતત્યનું એકમાત્ર બિંદુ $x = 3$ છે.
કિસ્સો $I$: જો $c < -3$,તો $f(c) = -c + 3$. લક્ષ $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (-x + 3) = -c + 3 = f(c)$. આમ,$x < -3$ માટે $f$ સતત છે.
કિસ્સો $II$: જો $c = -3$,તો $f(-3) = |-3| + 3 = 6$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^-} (-x + 3) = -(-3) + 3 = 6$. જમણી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to -3^+} f(x) = \lim_{x \to -3^+} (-2x) = -2(-3) = 6$. કારણ કે $\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^+} f(x) = f(-3)$,તેથી $x = -3$ આગળ $f$ સતત છે.
કિસ્સો $III$: જો $-3 < c < 3$,તો $f(c) = -2c$. લક્ષ $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (-2x) = -2c = f(c)$. આમ,$x \in (-3, 3)$ માટે $f$ સતત છે.
કિસ્સો $IV$: જો $c = 3$,તો $f(3) = 6(3) + 2 = 20$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (-2x) = -2(3) = -6$. જમણી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (6x + 2) = 6(3) + 2 = 20$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $\neq$ જમણી બાજુનું લક્ષ હોવાથી,$x = 3$ આગળ $f$ અસતત છે.
કિસ્સો $V$: જો $c > 3$,તો $f(c) = 6c + 2$. લક્ષ $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (6x + 2) = 6c + 2 = f(c)$. આમ,$x > 3$ માટે $f$ સતત છે.
તેથી,અસાતત્યનું એકમાત્ર બિંદુ $x = 3$ છે.
Explore More
Similar Questions
જો $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ માટે $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{\log(2+x) - x^{2n} \sin x}{1+x^{2n}} \right)$ હોય, તો $x=1$ આગળ $f(x)$ એ
જો વિધેય $f(x) = \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$ એ $x=0$ આગળ સતત હોય,તો $f(0) = $
વિધેય $f(x) = \begin{cases} \frac{x - |x|}{x}, & x \neq 0 \\ 2, & x = 0 \end{cases}$ માટે:
ધારો કે $f, g: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} x \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ અને $g(x) = x f(x)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેયો છે. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો: $(i)$ $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે પરંતુ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી. $(ii)$ $g(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય છે, પરંતુ $g'(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત નથી. તો, નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
જો વિધેય $f(x)=\begin{cases} \frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x \neq 0 \text{ માટે } \\ k, & x=0 \text{ માટે } \end{cases}$ એ $x=0$ આગળ સતત હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo