$f$ के सभी असातत्य (discontinuity) के बिंदु ज्ञात कीजिए,जहाँ $f$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$

(D) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$ है।
हम जानते हैं कि $x < 0 \implies |x| = -x$ और $x > 0 \implies |x| = x$ होता है।
अतः,फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(x) = \begin{cases} -1, & \text{यदि } x < 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \\ 1, & \text{यदि } x > 0 \end{cases}$
फलन $f$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। मान लीजिए $c$ कोई वास्तविक संख्या है।
स्थिति $I$: यदि $c < 0$,तो $f(c) = -1$ है।
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (-1) = -1 = f(c)$।
अतः,$f$ सभी $x < 0$ के लिए सतत है।
स्थिति $II$: यदि $c = 0$,तो बायाँ सीमा (left-hand limit) $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-1) = -1$ है।
दायाँ सीमा (right-hand limit) $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (1) = 1$ है।
चूँकि बायाँ सीमा $\neq$ दायाँ सीमा,इसलिए $f$ बिंदु $x = 0$ पर असतत है।
स्थिति $III$: यदि $c > 0$,तो $f(c) = 1$ है।
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (1) = 1 = f(c)$।
अतः,$f$ सभी $x > 0$ के लिए सतत है।
निष्कर्ष: $x = 0$ असातत्य का एकमात्र बिंदु है।