વિધેય $f$ માટે સાતત્યતાના તમામ બિંદુઓ શોધો,જ્યાં $f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}, & \text{જો } x \neq 0 \\ 0, & \text{જો } x = 0 \end{cases}$

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}, & \text{જો } x \neq 0 \\ 0, & \text{જો } x = 0 \end{cases}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x < 0 \implies |x| = -x$ અને $x > 0 \implies |x| = x$.
તેથી,વિધેયને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકાય:
$f(x) = \begin{cases} -1, & \text{જો } x < 0 \\ 0, & \text{જો } x = 0 \\ 1, & \text{જો } x > 0 \end{cases}$
વિધેય $f$ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે. ધારો કે $c$ કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
કિસ્સો $I$: જો $c < 0$,તો $f(c) = -1$.
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (-1) = -1 = f(c)$.
આમ,$f$ એ તમામ $x < 0$ માટે સતત છે.
કિસ્સો $II$: જો $c = 0$,તો ડાબી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-1) = -1$.
જમણી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (1) = 1$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ $\neq$ જમણી બાજુનું લક્ષ હોવાથી,$f$ એ $x = 0$ આગળ અસતત છે.
કિસ્સો $III$: જો $c > 0$,તો $f(c) = 1$.
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (1) = 1 = f(c)$.
આમ,$f$ એ તમામ $x > 0$ માટે સતત છે.
નિષ્કર્ષ: $x = 0$ એ અસતતતાનું એકમાત્ર બિંદુ છે.