$f(x) = |x| - |x + 1|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f$ ના તમામ અસતત બિંદુઓ શોધો.

(NONE) આપેલ વિધેય $f(x) = |x| - |x + 1|$ છે.
બે વિધેયો $g$ અને $h$ ને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરીએ:
$g(x) = |x|$ અને $h(x) = |x + 1|$.
તેથી,$f = g - h$ થાય.
પ્રથમ,$g$ અને $h$ ની સાતત્યતા તપાસીએ.
વિધેય $g(x) = |x|$ ને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$g(x) = \begin{cases} -x, & \text{જો } x < 0 \\ x, & \text{જો } x \ge 0 \end{cases}$
તે સ્પષ્ટ છે કે $g$ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
ધારો કે $c$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
કિસ્સો $I$: જો $c < 0$ હોય,તો $g(c) = -c$ અને $\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} (-x) = -c$. તેથી,$g$ એ $x < 0$ માટે સતત છે.
કિસ્સો $II$: જો $c > 0$ હોય,તો $g(c) = c$ અને $\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} (x) = c$. તેથી,$g$ એ $x > 0$ માટે સતત છે.
કિસ્સો $III$: જો $c = 0$ હોય,તો $g(0) = 0$. ડાબી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 0^+} (x) = 0$. તેથી,$g$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.
આમ,$g$ દરેક બિંદુએ સતત છે.
તે જ રીતે,$h(x) = |x + 1|$ ને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$h(x) = \begin{cases} -(x + 1), & \text{જો } x < -1 \\ x + 1, & \text{જો } x \ge -1 \end{cases}$
તે જ રીતે સાબિત કરી શકાય કે $h$ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે સતત છે.
બે સતત વિધેયોની બાદબાકી પણ સતત વિધેય હોય છે. તેથી,$f = g - h$ એ પણ દરેક બિંદુએ સતત છે.
આમ,$f$ ને કોઈ અસતત બિંદુ નથી.