$f(x) = \sin 3x, x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ द्वारा दिए गए फलन के लिए वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें फलन:
$(a)$ वर्धमान है
$(b)$ ह्रासमान है।

(N/A) हमारे पास $f(x) = \sin 3x$ है।
अतः,$f'(x) = 3 \cos 3x$ होगा।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $f'(x) = 0$ रखते हैं,जिससे $3 \cos 3x = 0$ या $\cos 3x = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ है,इसलिए $3x \in \left[0, \frac{3\pi}{2}\right]$ होगा।
अतः,$3x = \frac{\pi}{2}$ या $3x = \frac{3\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $x = \frac{\pi}{6}$ या $x = \frac{\pi}{2}$।
बिंदु $x = \frac{\pi}{6}$ अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ को दो उप-अंतरालों में विभाजित करता है: $\left[0, \frac{\pi}{6}\right)$ और $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$।
जब $x \in \left[0, \frac{\pi}{6}\right)$ है,तो $0 \leq 3x < \frac{\pi}{2}$ होता है,इसलिए $\cos 3x > 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f'(x) > 0$। अतः,$f$ अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{6}\right]$ पर वर्धमान है।
जब $x \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ है,तो $\frac{\pi}{2} < 3x \leq \frac{3\pi}{2}$ होता है,इसलिए $\cos 3x < 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f'(x) < 0$। अतः,$f$ अंतराल $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ पर ह्रासमान है।