सिद्ध कीजिए कि $y=\log (1+x)-\frac{2 x}{2+x}, x>-1,$ अपने प्रांत में $x$ का एक वर्धमान फलन है।

(A) हमारे पास है,$y=\log (1+x)-\frac{2 x}{2+x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1+x} - \frac{(2+x)(2) - 2x(1)}{(2+x)^2}$
$= \frac{1}{1+x} - \frac{4 + 2x - 2x}{(2+x)^2}$
$= \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$
$= \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2}$
$= \frac{4 + 4x + x^2 - 4 - 4x}{(1+x)(2+x)^2}$
$= \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2}$.
चूंकि $x > -1$,इसलिए प्रांत के सभी $x$ के लिए $(1+x) > 0$ और $(2+x)^2 > 0$ है।
साथ ही,सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2 \ge 0$ होता है।
अतः,$\frac{d y}{d x} = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2} \ge 0$ सभी $x > -1$ के लिए।
चूंकि अवकलज का मान ऋणात्मक नहीं है और केवल $x=0$ पर शून्य होता है,इसलिए फलन $y$ अपने पूरे प्रांत $(-1, \infty)$ में एक वर्धमान फलन है।