સાબિત કરો કે $y=\log (1+x)-\frac{2 x}{2+x}, x>-1,$ એ તેના પ્રદેશમાં $x$ નું વધતું વિધેય છે.

(A) આપણી પાસે છે,$y=\log (1+x)-\frac{2 x}{2+x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1+x} - \frac{(2+x)(2) - 2x(1)}{(2+x)^2}$
$= \frac{1}{1+x} - \frac{4 + 2x - 2x}{(2+x)^2}$
$= \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$
$= \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2}$
$= \frac{4 + 4x + x^2 - 4 - 4x}{(1+x)(2+x)^2}$
$= \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2}$.
અહીં $x > -1$ હોવાથી,પ્રદેશના તમામ $x$ માટે $(1+x) > 0$ અને $(2+x)^2 > 0$ થાય.
વળી,તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $x^2 \ge 0$ થાય.
આમ,$\frac{d y}{d x} = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2} \ge 0$ તમામ $x > -1$ માટે.
વિકલિતનું મૂલ્ય ઋણ નથી અને માત્ર $x=0$ આગળ શૂન્ય થાય છે,તેથી વિધેય $y$ તેના સમગ્ર પ્રદેશ $(-1, \infty)$ માં વધતું વિધેય છે.