वक्र x^{2}=4y और रेखा x=4y-2 द्वारा परिबद्ध क | vedclass

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Question

(A) वक्र $x^{2}=4y$ और रेखा $x=4y-2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करके प्राप्त किया जाता है।रेखा के समीकरण से,$4y = x+2$।

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$9$

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(A) वक्र $x^{2}=4y$ और रेखा $x=4y-2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करके प्राप्त किया जाता है।रेखा के समीकरण से,$4y = x+2$। इसे परवलय के समीकरण $x^{2}=4y$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^{2} = x+2$ प्राप्त होता है,जो $x^{2}-x-2=0$ में सरल हो जाता है।$(x-2)(x+1)=0$ को हल करने पर,हमें $x=2$ और $x=-1$ पर प्रतिच्छेदन बिंदु मिलते हैं।$x=2$ के लिए,$y = (2^{2})/4 = 1$। बिंदु $B$ $(2, 1)$ है।$x=-1$ के लिए,$y = ((-1)^{2})/4 = 1/4$। बिंदु $A$ $(-1, 1/4)$ है।आवश्यक क्षेत्रफल $x=-1$ से $x=2$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त समाकलन है।क्षेत्रफल $= \int_{-1}^{2} \left( \frac{x+2}{4} - \frac{x^{2}}{4} ight) dx$$= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^{2}}{2} + 2x - \frac{x^{3}}{3} ight]_{-1}^{2}$$= \frac{1}{4} \left( \left( \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} ight) - \left( \frac{1}{2} - 2 - \frac{-1}{3} ight) ight)$$= \frac{1}{4} \left( \left( 6 - \frac{8}{3} ight) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} ight) ight)$$= \frac{1}{4} \left( \frac{10}{3} - \left( \frac{3-12+2}{6} ight) ight)$$= \frac{1}{4} \left( \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} ight) ight) = \frac{1}{4} \left( \frac{20+7}{6} ight) = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} 	ext{ वर्ग इकाई.}$

वक्र $x^{2}=4y$ और रेखा $x=4y-2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi$ में)

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