वृत्त 4x^{2}+4y^{2}=9 का वह क्षेत्रफल ज्ञात क | vedclass

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Question

(A) आवश्यक क्षेत्रफल छायांकित क्षेत्र $OBCDO$ द्वारा दर्शाया गया है।समीकरणों $4x^{2}+4y^{2}=9$ और $x^{2}=4y$ को हल करने पर,हम $x^{2}=4y$ को वृत्त के स

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$\left[\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{2 \sqrt{2}}{3}\right]$

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(A) आवश्यक क्षेत्रफल छायांकित क्षेत्र $OBCDO$ द्वारा दर्शाया गया है।समीकरणों $4x^{2}+4y^{2}=9$ और $x^{2}=4y$ को हल करने पर,हम $x^{2}=4y$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:$4(4y)+4y^{2}=9 \implies 4y^{2}+16y-9=0$.द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$y = \frac{-16 \pm \sqrt{256 - 4(4)(-9)}}{8} = \frac{-16 \pm \sqrt{400}}{8} = \frac{-16 \pm 20}{8}$.परवलय के लिए $y \ge 0$ होने के कारण,$y = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.अतः $x^{2} = 4(\frac{1}{2}) = 2$,जिससे $x = \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $B(\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ और $D(-\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ हैं।क्षेत्रफल $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए क्षेत्रफल $= 2 	imes \int_{0}^{\sqrt{2}} (y_{circle} - y_{parabola}) dx$.$y_{circle} = \frac{1}{2}\sqrt{9-4x^{2}}$ और $y_{parabola} = \frac{x^{2}}{4}$.क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{\sqrt{2}} (\frac{1}{2}\sqrt{9-4x^{2}} - \frac{x^{2}}{4}) dx = \int_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{9-4x^{2}} dx - \frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{2}} x^{2} dx$.समाकलन करने पर,$= \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{9}{4}\sin^{-1}(\frac{2\sqrt{2}}{3})$ वर्ग इकाई।

वृत्त $4x^{2}+4y^{2}=9$ का वह क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो परवलय $x^{2}=4y$ के भीतर स्थित है।

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