બે વર્તુળો x^{2}+y^{2}=4 અને (x-2)^{2}+y^{2}= | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો છે:$x^{2}+y^{2}=4$  ........ $(1)$$(x-2)^{2}+y^{2}=4$  ........ $(2)$સમીકરણ $(1)$ એ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર કેન્દ્ર અને $2$ ત્

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{8 \pi}{3}-2 \sqrt{3}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો છે:$x^{2}+y^{2}=4$  ........ $(1)$$(x-2)^{2}+y^{2}=4$  ........ $(2)$સમીકરણ $(1)$ એ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર કેન્દ્ર અને $2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. સમીકરણ $(2)$ એ $C(2,0)$ પર કેન્દ્ર અને $2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા:$(x-2)^{2}+y^{2}=x^{2}+y^{2}$$x^{2}-4x+4+y^{2}=x^{2}+y^{2}$$4x=4 \implies x=1$$x=1$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$1+y^{2}=4 \implies y^{2}=3 \implies y=\pm \sqrt{3}$.છેદબિંદુઓ $A(1, \sqrt{3})$ અને $A'(1, -\sqrt{3})$ છે.માગેલ ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $= 2 	imes 	ext{પ્રથમ ચરણમાં } OACA'O 	ext{ નું ક્ષેત્રફળ}$.ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_{0}^{1} \sqrt{4-(x-2)^{2}} dx + \int_{1}^{2} \sqrt{4-x^{2}} dx ight]$સૂત્ર $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \left( \frac{x-2}{2}\sqrt{4-(x-2)^{2}} + 2\sin^{-1}(\frac{x-2}{2}) ight)_{0}^{1} + \left( \frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}} + 2\sin^{-1}(\frac{x}{2}) ight)_{1}^{2} ight]$$= 2 \left[ \left( (-\frac{1}{2}\sqrt{3} + 2\sin^{-1}(-\frac{1}{2})) - (-\sqrt{3} + 2\sin^{-1}(-1)) ight) + \left( (0 + 2\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2}\sqrt{3} + 2\sin^{-1}(\frac{1}{2})) ight) ight]$$= 2 \left[ (-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} + \sqrt{3} + \pi) + (\pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3}) ight]$$= 2 \left[ \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3} ight] = \frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3}$.

બે વર્તુળો $x^{2}+y^{2}=4$ અને $(x-2)^{2}+y^{2}=4$ વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Similar Questions

$y=x^2-4x+4$ અને $y^2=16-8x$ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો:

$x=0$ અને $x=2$ રેખાઓ વચ્ચે વક્રો $y=2x^2$ અને $y=\max \{x-[x], x+|x|\}$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

બહુપદી $f(x)$ એ શરત $f(x + 1) = x^2 + 4x$ નું પાલન કરે છે. $y = f(x - 1)$ અને વક્ર $x^2 + y = 0$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

ધારો કે પ્રદેશ $\{(x, y): 0 \leq x \leq 3, 0 \leq y \leq \min \{x^2+2, 2x+2\}\}$ નું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. તો $12A$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module