વક્ર frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1 પરના બિં | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \dots (i)$બિંદુ $A\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ આગળ સ્પર્શક અને અભ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{b}{4 a}\left(a^2+b^2\right)$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \dots (i)$બિંદુ $A\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}ight)$ આગળ સ્પર્શક અને અભિલંબનું સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધીશું.$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$.બિંદુ $A$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = -\frac{b^2}{a^2} \left( \frac{a/\sqrt{2}}{b/\sqrt{2}} ight) = -\frac{b}{a}$.અભિલંબનો ઢાળ $m_N = -\frac{1}{m_T} = \frac{a}{b}$.$A$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ: $y - \frac{b}{\sqrt{2}} = -\frac{b}{a} \left( x - \frac{a}{\sqrt{2}} ight) \dots (ii)$.$A$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ: $y - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b} \left( x - \frac{a}{\sqrt{2}} ight) \dots (iii)$.$X$-અક્ષ પર ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,$(ii)$ અને $(iii)$ માં $y=0$ મૂકો:સ્પર્શક માટે,$0 - \frac{b}{\sqrt{2}} = -\frac{b}{a} (x - \frac{a}{\sqrt{2}}) \implies \frac{a}{\sqrt{2}} = x - \frac{a}{\sqrt{2}} \implies x = \sqrt{2}a$. બિંદુ $B = (\sqrt{2}a, 0)$.અભિલંબ માટે,$0 - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b} (x - \frac{a}{\sqrt{2}}) \implies -\frac{b^2}{\sqrt{2}a} = x - \frac{a}{\sqrt{2}} \implies x = \frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b^2}{\sqrt{2}a} = \frac{a^2-b^2}{\sqrt{2}a}$. બિંદુ $C = (\frac{a^2-b^2}{\sqrt{2}a}, 0)$.ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ બિંદુ $A$ નો $y$-યામ છે,જે $h = \frac{b}{\sqrt{2}}$ છે.પાયો $BC = \sqrt{2}a - \frac{a^2-b^2}{\sqrt{2}a} = \frac{2a^2 - a^2 + b^2}{\sqrt{2}a} = \frac{a^2+b^2}{\sqrt{2}a}$.ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{પાયો} 	imes 	ext{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} 	imes \left( \frac{a^2+b^2}{\sqrt{2}a} ight) 	imes \left( \frac{b}{\sqrt{2}} ight) = \frac{b(a^2+b^2)}{4a}$.

Similar Questions

ઉપવલય $\frac{(x - 1)^2}{9} + \frac{(y + 1)^2}{25} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ ની નાભિઓમાંથી પસાર થતા અને $(0, 3)$ કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module