ઉપવલય $\frac{x^2}{50} + \frac{y^2}{20} = 1$ પરના એવા બિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે જ્યાંથી ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ પર પરસ્પર લંબ સ્પર્શકો દોરી શકાય?

એક બિંદુ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી $(ae, 0)$ અને $(-ae, 0)$ થી તેના અંતરનો સરવાળો $2a$ થાય,તો તેના બિંદુપથનું સમીકરણ શું હશે,જ્યાં $b^2 = a^2(1 - e^2)$ છે?

જો $P(\alpha, \beta)$ એ પ્રથમ ચરણમાં વક્ર $9x^2 + 4y^2 = 144$ પરનું બિંદુ હોય અને $P$ આગળ વક્રના સ્પર્શક દ્વારા યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $S$ હોય,તો

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{32}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ના નાભિલંબના એક અંત્યબિંદુ આગળનો અભિલંબ ગૌણ અક્ષના એક અંત્યબિંદુમાંથી પસાર થતો હોય,તો $\frac{e^4}{1-e^2}=$ (અહીં $e$ એ ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા છે)

ધારો કે $F_1$ અને $F_2$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ ના નાભિઓ છે. $F_1$ માંથી નીકળતું કિરણ ઉપવલયના અરીસા પર બિંદુ $P$ આગળ અથડાય છે અને પરાવર્તિત થાય છે. તો આપાત કિરણ અને પરાવર્તિત કિરણ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ શું હશે?

ધારો કે રેખા $y=mx$ અને ઉપવલય $2x^{2}+y^{2}=1$ પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $P$ પર છેદે છે. જો આ ઉપવલયના બિંદુ $P$ આગળનો અભિલંબ યામ અક્ષોને $(-\frac{1}{3\sqrt{2}}, 0)$ અને $(0, \beta)$ માં મળે,તો $\beta$ ની કિંમત શોધો.